泛函微分方程在物理学、化学、生物学、电力和电路分析、神经网络、医学、金融学等领域有着极其广泛的应用.相比于无时滞的微分方程,具时滞的泛函微分方程能够更加准确地刻画客观事物的发展变化趋势.一般情况下,此类方程的精确解难以得到,因此我们需要借助稳定高效精确的数值算法来获取这类方程的数值解.迄今为止,国内外已有许多文献和专著涉及泛函微分方程的数值计算和分析,其中的算法包括线性多步法、单支方法、Runge-Kutta方法、一般线性方法以及边值方法等.然而,在非线性刚性泛函微分方程的数值计算中,上述提及的数值方法常常需要很大的计算量.鉴于此,为了提高数值方法的计算效率,本文将拓展隐显与线性化方法求解几类泛函微分方程,如刚性中立型方程,非线性延迟Sobolev方程以及Allen-Cahn方程等.本文结构如下.在第一章,我们首先简要介绍泛函微分方程的研究背景以及研究现状,接着回顾了隐显与线性化方法的研究成果,最后概述本文的主要研究内容.在第二章,我们构造了求解非线性刚性中立型方程的拓展的隐显单支方法.在一定的条件下,我们证明了该方法的收敛性和稳定性.最后,通过数值算例,我们验证了方法的有效性、理论精度及其在计算效率方面的优势.在第三章,我们考虑了求解半线性刚性中立型方程的拓展的隐显Runge-Kutta方法.在合适的条件下,我们给出了该方法的误差估计,并通过一些数值算例,我们阐明了理论结果的正确性和方法的有效性.最后,我们将该方法与隐式Runge-Kutta方法进行数值比较,结果表明得到的方法具有更高的计算效率.在第四章,我们研究了求解半线性刚性中立型方程的拓展的隐显一般线性方法.在一定的条件下,我们分析了该方法的收敛性和稳定性.进而通过数值算例,方法的有效性以及理论结果的正确性得以验证.最后,我们将得到的方法与隐式一般线性方法进行数值比较,结果表明得到的方法在计算效率方面具有很大的优势.在第五章,我们关注于非线性延迟Sobolev方程的数值计算与分析.针对一维和二维问题,我们分别构造了线性化紧致差分法.随后,我们分析了方法的唯一可解性和收敛性,结果表明得到的方法在时间和空间方向分别是二阶和四阶收敛的.进一步,为了提高方法在时间方向的计算精度,我们考虑了 Richardson外推技巧,并证明得到的外推算法在时间和空间方向都具有四阶精度.最后,通过一些数值算例,我们验证了得到的理论结果以及算法的有效性.在第六章,通过结合二阶中心差分和Crank-Nicolson方法以及Newton线性化技巧,我们提出了新型两层线性化差分法求解Allen-Cahn方程.随后,在一定的条件下,我们分析了方法的离散最大模原理和能量稳定性.进一步,我们给出了方法的误差估计,结果表明得到的方法在时间和空间方向都具有二阶计算精度.最后,通过数值试验,我们验证了方法的有效性以及得到的理论结果.最后一章,我们对本文工作进行了简要的总结,并阐述了一些值得进一步研究的问题.