【摘 要】
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Quantale是Mulvey于1986年在研究非交换的C*-代数的谱时首先引入的,其目的是给非交换的C*-代数提供格式刻画,并为量子力学提供新的数学模型.由于Quan-tale理论属于序理论、代数理论、拓扑学、逻辑学以及范畴论等多个数学分支的交叉领域,使得Quantale在环的理想理论、非交换的C*-代数、线性逻辑以及理论计算机科学等领域研究中有着极其重要的应用.从数学研究的角度来看,探究Qua
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Quantale是Mulvey于1986年在研究非交换的C*-代数的谱时首先引入的,其目的是给非交换的C*-代数提供格式刻画,并为量子力学提供新的数学模型.由于Quan-tale理论属于序理论、代数理论、拓扑学、逻辑学以及范畴论等多个数学分支的交叉领域,使得Quantale在环的理想理论、非交换的C*-代数、线性逻辑以及理论计算机科学等领域研究中有着极其重要的应用.从数学研究的角度来看,探究Quantale及其相关代数结构的性质是Quantale理论研究的一个重要工作.2018年,Eklund等人出版了专著《Semigroups in Complete Lattices》,他们着眼于完备格,选取具有良好性质的完备格,考虑这些完备格上的代数结构,得到了一系列结论.从结构来讲,Quantale是半群与完备格的结合体.这种从完备格出发研究代数结构的方法也为Quantale的研究提供了一种新思路.本文将从这一角度出发,分别对下集格,完备格的张量积以及完全分配格等这几类完备格上的Quantale结构进行研究.全文共分为五章,主要内容安排如下:第一章预备知识.本章介绍了文章所用到的格论、Quantale理论和范畴论中的基本概念和相关结论.第二章 完备格的张量积上的Quantale.首先证明了完备格上的Quantale结构与满足结合条件的双同态是一一对应的,完备格上的Quantale结构都能由超算子来表示;其次在幂集格间的保并交映射上定义了两种新的运算,它们可以像传统的复合运算一样在保并交映射间作用,并且使得P（X）（?）P（X）在两种运算下分别成为Quantale和余Quantale;最后在Quantale范畴中引入了几乎张量积的概念,并考虑了 Quantale张量积对于Quantale性质的保持情况.第三章Quantale范畴中关于笛卡尔积的消去律.首先基于Quantale的序性质,证明了*-连通的Quantale和不可分解的Quantale是可消的;其次基于Quantale的代数性质,证明了无零因子的Quantale、只有最大元与最小元是幂等元的Quantale以及单纯Quantale都是可消的;最后研究了 Quantale的底数消去问题并给出了三个Quantale底数可消的充分条件.第四章Quantale范畴中的投射对象.首先引入了完全分配Quantale的概念,并证明了它恰是以Quantale为对象,子可乘Quantale同态为态射的范畴中的投射对象;其次引入了强完全分配Quantale的概念,并证明了它恰是以Quantale为对象,强子可乘Quantale同态为态射的范畴中的投射对象;最后证明了 Quantale范畴中的投射对象都是无零因子且不含非平凡幂等元的Quantale,同时证明了 A是Quantale范畴中的投射对象当且仅当A上有一个投射系统.第五章Q-代数范畴中的投射对象.首先在Q-模范畴中给出了张量积的具体结构,证明了两个Q-代数的Q-模张量积仍是Q-代数;其次构造了一个从完备格范畴到Q-模范畴的函子Q（?）-,并证明了该函子是Q-模范畴到完备格范畴的遗忘函子的左伴随.通过这个函子可以证明Q（?）M是Q-模范畴中的投射对象当且仅当M是完备格范畴中的投射对象;此外构造了一个从Quantale范畴到Q-代数范畴的函子Q（?）-,证明了该函子是遗忘函子的左伴随,并且Q（?）-可以保持和反射Quantale范畴中的投射对象;最后利用Q-模张量积定义了张量Q-代数并证明了 M是Q-代数范畴中的投射对象当且仅当存在Q-模范畴中的投射对象A使得M是张量Q-代数K（A）的收缩.
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