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数学物理反问题是源于物理、生物、医学、地质等众多科学领域中的实际问题，经过数学建模而产生的一个新兴交叉学科领域。其特点是问题种类繁多，涉及多学科领域的理论，大多属于数学中的不适定问题，数学理论和方法尚不完善，很多问题的研究依赖于其正问题的研究。本文研究的问题分别属于下面两个反问题领域中的问题：未知边界探测问题和生物电磁场问题．全文共分为四部分：
1．椭圆方程沿直线唯一延拓的条件稳定性；
2．波动方程和逆波源问题沿直线唯一延拓的条件稳定性；
3．EEG和MEG的正问题；
4．卵球模型的MEG反问题。
在论文的第一部分，我们的主要工作是利用C中全纯函数的延拓方法讨论了R中一类高阶椭圆方程的解沿直线作唯一延拓时的条件稳定性。该问题的条件稳定性意即：在解的先验界的假设下，我们可以由较小部分直线段上解的值来估计较大直线段上的值．该类问题是近些年来研究未知边界探测反问题中所呈现出来的一种新的反问题．弹性力学中许多问题是我们这里所讨论的椭圆方程类型的重要的实际背景。作为应用，我们将该稳定性结果用于弹性力学中的两个方程： Lamé方程组和具有解析系数的Kirchhoff板方程。最后，根据我们建立的条件稳定性结果，我们针对二维调和函数进行了数值试验，意在考察这种条件稳定性对数值解的影响。数值结果显示我们得到了较高精度的近似解，并且随着大线段上的点与小线段右端点之间的距离越小而误差精度越高，与我们的条件稳定性的理论结果相符合。
论文的第二部分则考察的是波动方程和逆波源问题沿直线的唯一延拓问题，我们通过Fourier-Bros-Iagolnitzer变换，并将波动方程问题化为Laplace方程问题，进而利用Laplace方程的有关结果得到了波动方程的解沿直线唯一延拓的对数型条件稳定性结果。根据该结果，进一步研究了逆波源问题，建立了与空间变量有关的波源项在线段上延拓的条件稳定性．
本文的第三部分是医学影像技术中的问题--脑电图影像(electroencephalog-raphy，简记EEG)和磁源影像(magnetoencephalography，简记MEG)的正问题，求解EEG/MEG正问题是研究通过EEG和MEG测量数据来确定脑内部神经电流源分布的反问题的一个重要组成部分， EEG和MEG的正问题是在假定电流源分布已知的情况下，分别计算脑皮层上的电位势和脑外部磁场。在Maxwell方程的拟稳态的假设下，我们给出了适合处理一般的非球脑模型的EEG/MEG问题的解析表达式并利用边界元加权残数配点法和最小二乘配点法给出了数值计算的统一框架。然后，我们利用上述两种方法针对非球模型——卵球模型，分别在单层卵球模型和三层卵球模型下实施了多方位的EEG/MEG正问题的数值试验，并且详细地分析了上述两种方法在处理单层及三层卵球模型下， EEG和MEG正问题的解相对于偶极子位置和方向变化时的误差。在各种情形下，得到了稳定可靠的EEG和MEG正问题数值结果。
第四部研究的是MEG反问题．我们利用均匀卵球体作为人脑模型的近似，该模型比球模型和椭球模型更接近人脑，比椭球模型更便于数学上的处理．在Maxwell方程拟稳态假设下，根据Geselowitz方程，首先考察了MEG传感器被置于z轴上(头上方)的情况，通过将主要电流分别在直角坐标系、柱坐标系和球坐标系下分解，建立了脑外磁场与主要电流分量之间的关系。然后，针对MEG传感器的一般位置，通过将主要电流在球坐标系下分解，并利用将MEG与EEG结合的方法，得到了由脑外磁场和脑皮层上的电位势测量唯一地确定脑内部神经电流的解析结果．