【摘 要】
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二次特征值问题（Quadratic eigenvalue problem,简称QEP）是数值代数中一类非常值得探讨的问题,其应用背景也非常的广泛.迄今为止,众多学者对该问题进行了大量的研究,并提出了各种解决方案.在实际应用中,一般只需要求解QEP的单个或部分特征值解.基于Rayleigh-Ritz投影的Sakurai-Sugiura方法（简称SS-RR方法）是解决部分特征值的一种非常有效的方法,它
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二次特征值问题（Quadratic eigenvalue problem,简称QEP）是数值代数中一类非常值得探讨的问题,其应用背景也非常的广泛.迄今为止,众多学者对该问题进行了大量的研究,并提出了各种解决方案.在实际应用中,一般只需要求解QEP的单个或部分特征值解.基于Rayleigh-Ritz投影的Sakurai-Sugiura方法（简称SS-RR方法）是解决部分特征值的一种非常有效的方法,它将原始QEP投影为中小规模的特征值问题.而对于中小规模QEP的求解,一种常见方法就是通过线性化法将其转换为广义特征值问题进行求解.本文将介绍带有线性化的SS-RR方法求解QEP的过程.同时考虑到向后稳定的算法可以给出一个近似精确解,而向后误差是评价数值方法稳定性的重要指标.因此,本文主要研究以下两个内容:第一,我们对带有线性化的SS-RR方法在求解QEP时的向后误差进行分析.通过将特征值的分布与投影后QEP的系数矩阵范数相结合,我们对原始QEP计算特征对的向后误差建立了一个精细上界.该上界为分析SS-RR方法的数值稳定性提供了有效信息.第二,考虑到SS-RR方法在求解某些问题上可能存在数值不稳定的情况.而平衡（balancing）处理是提高特征值灵敏度的一种常用成熟技术.该方法通过减少系数矩阵的范数,从而改善所求特征值的向后误差并提高特征值的准确度.本文将介绍Betcke提出的平衡处理——对角缩放技术,并将该对角缩放技术融合在带有线性化的SS-RR方法当中.利用该方法求解QEP,我们从理论上和实验上验证了该平衡处理可以改善特征对的向后误差.
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