最近几年,在神经系统中,震荡是一种普遍存在的动力学行为,由于其在感知、认识、运动等方面发挥了重要的作用,因此引起了许多研究人员的关注。震荡是由神经元之间电子或者化学物质相互作用而形成的。为了描述兴奋神经元与抑制神经元之间的关系,研究者们提出了许多神经网络模型,比如Integrate and Fire模型,McGregor模型和Wilson–Cowan模型。并且研究了它们的动力学行为,比如稳定性、一致性、Hopf分岔、混沌等。本文主要内容及创新点如下所示:(1)带有延时和兴奋-抑制连接的扩散神经振子系统的Hopf分岔分析首先提出一个带有延时和兴奋-抑制连接的扩散神经振子系统,研究了该系统在诺伊曼边界条件下的稳定性。通过使用拉普拉斯特征根构建基础向量空间,得到了该神经系统的特征方程;然后选择以延时作为分岔参数,研究了系统零根的稳定性和Hopf分岔出现的条件;根据偏微分方程的规范性定理和中心流型定理,计算出该模型的规范型,进而确定周期解的分岔方向和稳定性。最后,通过两个仿真来验证理论的正确性。(2)带有延时和兴奋-抑制连接的神经振子系统的Hopf-pitchfork分岔分析首先研究了系统的分岔和平衡点的模式,根据理论分析可以得到:随着耦合权重的增长,系统会依次出现一个、三个、五个平衡点;然后通过选择以权重和延时作为分岔参数,进而得到Hopf-Pitchfork分岔发生的条件;最后使用中心流型定理和规范性定理,得到Hopf-Pitchfork的规范型和分叉图,通过分析分岔图,发现系统出现一系列复杂现象,比如同时存在两个同步平衡点或两个非同步平衡点或两个稳定周期解和两个准周期吸引子。最后,通过数据仿真验证了理论的正确性。