本学位论文主要目的是讨论扭曲乘积流形上诸如黎曼联络（列维-奇维塔联络）、黎曼曲率张量、截面曲率、里奇曲率和数量曲率等几何结构，并结合这些工具研究一些特定主题的相关应用。首先，通过单或双扭曲乘积度量的诱导下，我们分别逐步推演出相应的黎曼联络、(1，3)型黎曼曲率张量、(0，4)型黎曼曲率张量、截面曲率、里奇曲率和数量曲率这五种统一表达公式，见第二章。有了这些统一公式之后，我们便着手考虑以下五个方面的应用:　　1.以已知的联络统一公式为载体，讨论了以双扭曲乘积流形M×(μ,λ)N为初始空间或目标空间的一些特殊映射成为f-调和映射的行为特征。在这方面，我们获得一些结论，还构造了具有非平凡的f-调和映射的例子。见第三章。　　2.运用列维-其维塔联络和(1，3)型黎曼曲率的统一表达公式，我们讨论了以单扭曲乘积流形M×λN为初始空间或目标空间的一些特殊映射成为双f-调和映射的行为特征。我们回顾了通过双f-能量泛函1/2∫M|τf(φ)|2 dvg的第一变分来获取双f-张力场和一些性质，之后给出了一些有关双f-调和映射的结论。见第四章。　　3.将里奇曲率张量的统一公式嵌入到以单扭曲乘积流形为基底的里奇流和双曲几何流当中，我们聚焦于保持流类型的问题，即当第一因子流形（M,g）和第二因子流形(N,h)是里奇流（或双曲几何流）的解时，单扭曲乘积流形M×λN还是里奇流（或双曲几何流）的解。我们得出了一些特征偏微分方程，同时构造了一些简单实例。见第五章。　　4.同应用三的研究工具（统一公式）和背景，我们讨论了在里奇流抑或双曲几何流作用下单扭曲函数λ和里奇曲率张量等的演化方程。我们获得了一些有趣的结论，尤其是在第二因子添加爱因斯坦流的附加条件下，更是如此。见第六章。　　5.在已构建好的单和双扭曲乘积流形上截面曲率的统一表达公式中，令M=N=S2，我们走进霍普夫猜想，该猜想陈述为四维乘积流形S2×S2不容许有截面曲率处处严格正的黎曼度量。我们量化了所有由单或双扭曲乘积度量诱导出来的截面曲率，并分析了它们取正值的情形。我们得到的结果提供了支持霍普夫猜想的证据。见第七章。　　在以上五个方面的应用当中，保持流类型条件和两种扭曲乘积度量挺进霍普夫猜想是本文最大的两个亮点，它们充分展示了我们经过复杂推演出来的里奇曲率和截面曲率这两个统一公式的妙用。　　最后，我们提出了一些我们考虑在做或认为具有研究前景的问题，其中有我们构造命名的超双扭曲度量和陈邦彦引进的卷积度量，在第七章末节我们已给出了它们对应的度量矩阵的具体表达式。这两个新度量或许会成为我们进一步撼动霍普夫猜想提供了一个小纲领。