本文主要研究了两类微分方程—非线性微分方程与基尔霍夫型方程解的性态。文中主要内容分为两部分。第一部分主要给出了一个关于混合单调算子的新不动点理论,并将结论应用于LiouvilleSturm-边值问题中,得到了其非平凡解的存在性与唯一性;第二部分着重研究了两种不同类型基尔霍夫型方程解的存在性,值得注意的是我们采用了一种新的方法去证明。具体内容安排如下。第一章阐述了相应微分方程的历史背景及意义、国内外研究现状,并详细描述本文的主要研究内容。第二章介绍了本文的第一个主要结果,即通过引入混合单调算子,利用锥理论和单调迭代法,得到了其不动点的存在性和唯一性;进而针对LiouvilleSturm-具体边值问题,得到了其非平凡解的存在性及唯一性。改进和推广了一些已有的结果,提出了一种研究非线性微分方程的新方法。第三章阐述了本文研究的第二个问题,对具有一般奇异项的Kirchhoff型方程,通过利用Sobolev嵌入定理、Fatou引理以及范数的弱下半连续性进行了研究。首先证明能量泛函的全局极小值m的存在性,且得到m(27)0。接下来主要采用了变分方法,得到了正解的存在性结果。第四章对具有Sobolev临界指数的基尔霍夫型方程组进行了研究。文中首先得到能量泛函的全局极小值m的存在性,紧接着采用变分方法,得到了该问题的一个正局部极小解结果。