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尽管Cauchy早在1821年就提出了一元有理插值问题，而且一些作者也给出了一元有理插值存在的条件，但是对多元有理插值结果甚少，甚至有理函数的表达式的取法都还没有答案.
本文给出了多元Cauchy型有理插值表达式的构造方法，证明了一元Cauchy插值为其特例.我们还讨论了有理插值存在条件，给出了存在性定理.
文中也给出了若干有理插值的算例.
众所周知，插值方法是函数逼近的一种经典方法，利用它可以通过函数在有限个点处的取值，给出函数的近似表达式.此外，插值法还是导出其它许多数值方法例如积分的机械求积的依据.多项式插值理论与方法已经相当成熟。用有理函数逼近任意函数比多项式逼近更为优越，这是熟知的。早在1821年就提出了一元有理插值问题，现称之为Cauchy插值。但是多元有理插值成果甚少，甚至如何选择有理函数的表达式还不清楚。这是因为直到20世纪90年代M.G.Marinari和H.M.M(o)ller,T.mora利用构造性代数几何理论，给出了多元插值多项式的构造性理论和算法，才解决了对任意给定的插值节点组，插值多项式的构造问题。受这方面工作的启发，本文借鉴多元多项式插值函数的构造方法，给出了多元Cauchy型有理插值函数的构造方法，并证明了一元情形就是经典的Cauchy有理插值函数。其次，利用这种插值函数的表达式，我们还得到了有理插值函数的存在条件。
于实数轴上给定m+n+1个互异的点x0，x1,…，xm+n，以及函数y=f(x)与之相应的函数值f0，f1，…，fm+n∈R，试求一有理分式函数R(x)≡Pm(x)/Qn(x),(1)
其中Pm(x)，Qn(x)分别为m次及n次多项式.Pm(x)=∑aixi，Qn(x)=∑bixi使之满足插值条件R(xi)=fi，i=0，…，m+n.(2)
称为一元有理插值问题.
它是1821年由Cauchy提出的，因此也称为Cauchy插值问题.
于s维空间给定一组两两互异的点V={X0，X1,…，XN}，则存在于V上取值为零的多项式生成理想IV，使对任何f(X)∈IV，f(Xi)=0，i=0，…，N.记K[X]表示所有系数取自域K的多项式集合，则K[X]构成多项式环，K[X]/IV为其商环.由于IV仅有N+1个零点，K[V]/IV作为K向量空间必为N+1维的.
于s维空间中选定分次字典序为单项式序，即：对于任意K[X]中的单项式Xα，Xβ，Xα=xα11xα22…xα22，Xβ=xβ11xβ22…xβss，称Xα()xβ，即xα11xα22…xαss()xβ11xβ22…xβss，如果α1+α2+…+αs＜β1+β2+…+βs，或者α1+α2+…+αs=β1+β2+…+βs，但{β1-α1，β2-α2，…，βs-αs}中左边第一个非零分量为正.
若K-向量空间的基底为w0，w1,…，wN，并且wi()wi+1，则对任意给定的型值y0，y1,…，yN，多项式插值
PN(X)|X=Xj≡∑αiwi|X=Xj=yj，j=0，1，…，N存在而且唯一。
因而，若K-向量空间K[X]/IV的基为w0，w1，…，wN时，我们就取成R(X)=Pm(X)/Qn(X)(3)
其中，Pm(X)=∑αiwi，Qn(X)=∑i=0βiwi.
对给定的插值点X0，X1,…，XN，求形如(3)的有理函数使之满足插值条件R(Xj)=fh，，j=0，1，…，N=m+n(4)
就是多元Cauchy型有理插值问题的恰当描述。
对给定的两两互异的插值节点组V={X0，X1,…，XN}，直接计算商环K[X]/IV(亦称V的坐标函数环)并非易事。M.G.Marinari,H.M.M(o)ller和T.mora注意到多项式函数在固定点上赋值定义了多项式空间的线性泛函，特别是当X0，X1，…，XN互异时，在Xj(j=0，1，…，N)赋值的线性泛函Lj(p(X))=p(Xj)是线性无关的。它们生成K[X]/IV的对偶空间L的一组基底，利用它可以算出K[X]/IV的相应的对偶基底，其算法如下.
算法：对给定的点Xj，定义线性泛函Lj∶Lj(f(X))=f(Xj)，j=0，1，…，N.记L=(L0L1…LN)
用t0=1，t1,…，tj…，表示s维空间中按分次字典序排列的所有单项式序列.考虑序列Lt0，Lt0，…，Ltm，…(5)
由定义Lti(L0tiL1ti…LNti)=(ti(X0)ti(X1)…ti(XN).
于(5)中选择最前面的N+1个线性无关的向量，设其为：Ltj0，Ltj1，…，LtjN，则此时的tj0，tj1,…，tjN即为点集V相应的坐标函数环的基底.记为w0=tj0=1，w1=tj1,…，wN=tjN即为所求.
构造矩阵B(X，y)=(w0(0)w1(0)…wm(0)y0w0(0)y0w1(0)…y0wn(0)w0(1)w1(1)…wm(1)y1w0(1)y1w1(1)…y1wn(1)w0(N)w1(N)…wm(N)yNw0(N)yNw1(N)…yNwn(N)w0w1…wmyw0yw1…ywn)
其中wi(j)=wi(Xj)，根据插值基的构造方法知w0=1，w0(j)=1.
记B=(w0(0)w1(0)…wm(0)y0w0(0)y0w1(0)…y0wn(0)w0(1)w1(1)…wm(1)y1w0(1)y1w1(1)…y1wn(1)w0(N)w1(N)…wm(N)yNw0(N)yNw1(N)…yNwn(N))是B(X，y)去掉最后一行所导出的，为(N+1)×(N+2)的矩阵.并令B1=(w0(0)w1(0)…wm(0)w0(1)w1(1)…wm(1)w0(N)w1(N)…wm(N)),B2=(y0w0(0)y0w1(0)…y0wn(0)y1w1(1)y1w1(1)…y1wn(1)yNw1(N)yNw1(N)…yNwn(N)),显然B=(B1，B2)，并且B1的秩为m+1.
现在将插值条件Pm(Xj)-yjQn(Xj)=0，j=0，1，…，N.Pm(X)-yQn(X)=0写成矩阵形式B(X，y)(α0…αmβ0…βn)=0(6)
5显然有不全为零的α0，…，αm，β0，…，βn存在的充要条件是detB(X，y)=0.(7)
或者等价地，detB(X，y)=m∑i=0(-1)N+3+iwidetB1i+yn∑i=1(-1)N+m+4+iwidetB2i=0.(8)上式是将B(X，y)按最后一行展开得到所得到的关于X，y的多项式，其中B1j是B中去掉B1的含wj列，B2j是B中去掉B2的含wj列.
综上所述，当detB(X，y)≠0时，我们得到
定理1：对给定的互异插值节点X0，X1，…，XN，及型值y0，y1，…，yN，Cauchy型多元插值问题
Pm(Xj)-yjQn(Xj)=0，j=0，1，…，N=m+n
有解存在的充分必要条件是detB(Xi，yi)=0，i=0，1，…，N=m+n，其中B(X，y)由(8)式定义.
显然，定理条件不能直接验证，下面给出一个便于应用的充分条件.
定理2：若B行满秩，即RankB=N+1，则满足插值条件Pm(Xi)+yiQn(Xi)=0，i=0，1，…，N的多项式Pm(X)，Qn(X)存在。