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剪切集是一类非常重要的分形集。在本文第三章,我们考虑一类剪切集称为Moran型剪切集,记为Ea。它是由间隔序列{ai}和正整数序列{nκ}生成的,构造过程见定义(2.2.1)。它是一类非常广泛的分形集,包含一般Moran结构。如果对每个κ=1,2,…,取nκ=2,则坟即为Cantor集Ca。对于一般的正整数序列{nκ},Ea的结构更一般更复杂,获得的主要结果如下：(i)给出了Ea的h-Hausdorff测度和h-packing测度的估计,这个估计是用序列{ai}和{nκ}表示的,推广并包含了已知结果。特别指出的是,我们构造了与Ea是双Lipschitz等价的两个齐次Moran集,由此得到Ea的更好的测度估计,从而得到用{ai}和{nκ}的子序列表示的Ea的Hausdorfl和packing维数公式,推广了Besicovitch和Taylor [5]的结果。(ii)证明存在连续凸函数h是Ea的Hausdorff量纲函数。进一步,在经典的局部点态维数的定义中用h代替rα,用这种点态维数定义的水平集给出了Ea的重分形分解。(iii)对Moran型剪切集Ea,Eb定义三种等价关系,分别用间隔序列及测度给出刻画。分形维数比如常见的Hausdorff维数、计盒维数和packing维数对于随机过程的不光滑性和不规则性的刻画是非常有用的。本文第四、五章主要研究高斯随机场生成的像集和图集的packing维数。1.高斯随机场像集的packing维数设x={x(t)：t∈RN}是由(1.0.1)定义在概率空间(Ω,F,P)上取值于Rd的高斯随机场,E是RN中任意Borel集,记像集x(E)={x(t),t∈E}。利用定义在RN上的伪度量ρ(见式子(1.0.2)),将Falconer和Howroyd[19]在RN上关于欧氏度量的s维packing dimension profiles定义及相关性质推广到度量空间(RN,ρ)。基于这一新的维数概念,给出了高斯随机场像集X(El的packing维数的两种表示。2.分数布朗运动图集的packing维数分数布朗运动是一类非常重要的高斯随机场(见定义(1.0.3)),记图集Gr BH(E)= {(t,X(t)),t∈RN}。本文第五章为了解决分数布朗运动图集的packing维数的问题,考虑定义在RN+d上的度量τ(见式子(1.0.4))。将Falconer和Howroyd[19]在RN+d上关于欧氏度量的packing dimension profiles定义及相关结果推广到度量空间(RN+d,τ),利用势能理论和分数布朗运动一致Holder连续性,得到分数布朗运动图集GrBH(E)的packing dimension profiles。最后讨论乘积集合的packing dimension profiles公式,给出其上下界估计。