上世纪90年代,Goldenfeld等人用重整化群方法（RG）获得了许多重要的非线性微分方程的大范围渐近解,像Mathieu方程,Barenblatt’s方程,修正的多孔Medium方程、扰动能量平衡方程等等.结果表明Goldenfeld提出的RG方法在渐近分析上要比其它的扰动方法更有效并且可能更精确因为它不需要做渐近匹配,它统一了奇异摄动理论中几个经典的方法,如伸缩函数法、匹配法、多标度展开法、WKB方法等.但是RG方法只是形式上的,没有严密的数学基础.日本的物理学家Kunikiro用微分几何的包络理论给出了一个几何解释,里面包含了某些不自然的假设.直到最近,Liu提出了基于泰勒展开的重整化方法（TR）.由TR方法我们可以导出正规RG方法和Kunikiro的几何解释.由此,RG方法建立在了严格的数学基础之上.TR方法最大的好处就是扰动级数中的长期项自动消除,并不需要像一般摄动理论那样得费尽各种手段去消除这些项.但是对于有些微分方程,RG方法和TR方法都无法处理.为克服传统的RG方法的某些弊端,结合同伦变形和TR方法,Liu又提出了一个更有效的方法,即同伦重整化方法（HTR）.TR方法和HTR方法理论基础简单、严格、逻辑清晰、应用方便,因此我们可以利用TR和HTR方法来研究数学、物理、力学中非线性问题的解析解.本文主要应用TR和HTR方法理论研究了若干个生物学、工程力学、流体力学中具有重要意义的的非线性问题,并构造出了它们的一致有效的近似解析解.我们对于这些问题的处理方法各有不同,得到的结果精确度高,并且有的结果中包含了现有文献中的结果作为特例,因而更具有一般性.特别,在处理非线性边界层问题时,我们充分利用边界条件来选择初始同伦方程,避免了初始方程选择不当造成的奇异性或者与数值结果不吻合的缺点.数值分析结果表明,我们的渐近解与数值解符合的非常好,体现了我们处理方法的优越性和结果的有效性.本文各章的安排如下:第一章为绪论.介绍本文的研究背景、现状,以及本文所研究的主要内容.第二、三章中,我们分别研究了生物学中的阻尼Fisher问题和工程力学中受到外界扰动的杆振动问题.利用TR方法获得了它们的一致有效渐近解析解,并给出随参数变化时解的各种形态.分析表明,与其他的摄动方法相比,我们采用的方法更简洁有效.在第四章中,我们对修正的Boussinesq方程构造了适当的同伦方程,利用HTR方法得到了它的大范围渐近解.在第五章中,我们研究了同时带有三次和五次非线性项的Schrodinger方程（?）这里,Ψ是x和t的函数,v（x,t）,g3（x,t）和g5（x,t）都是空间和时间的函数,v（x,t）是势阱函数,g3（x,t）和g5（x,t）分别是三次和五次非线性项的系数函数.在这一章中,我们采用多项式完全判别系统法和HTR方法相结合,给出同时带有三次和五次非线性项的薛定谔方程渐近解的分类.首先我们利用HTR方法获得Ermakov-Pinney方程的大范围渐近解,在此基础上,我们采用多项式完全判别系统法最终构造了方程（1）的大范围渐近解的分类.我们的结果中包含了 Avelar等人在文献中已有的结果为特例,因而更具一般性.在第六章中,我们考虑了三种无穷大旋转平板边界层问题.这些问题的特点是非线性、高维数、以及复杂的边界条件.在第六章第一节中,我们了研究了 Schlichting边界层问题.一直以来人们都热衷于这个问题物理解的研究.在这一节,我们通过构造适当的同伦方程,利用HTR方法获得了它的物理解.在第六章第二节,我们研究了高雷诺数下无穷大旋转圆盘边界层问题.Rasmussen用匹配级数法给出了该问题的解析解.但解的形式过于复杂且精确度欠佳.在这一章第二节,我们利用HTR方法,给出方程的大范围渐近解,并通过不同参数下函数的图像分析了解的周期性和渐近性.我们的解精确度更高.在第六章第三节,我们研究了修正Von Karman问题.我们充分利用边界条件构造出了初始同伦方程,采用HTR方法获得了修正Von Karman问题的大范围近似解析解.数值分析结果表明,我们的渐近解精度很高,绝对误差都小于0.03,证明了我们的解析解与数值解符合的非常好,体现了方法的优越性和结果的实用性.