【摘 要】
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设H是一个复可分无穷维Hilbert空间,以B（H）表示H上的所有有界线性算子构成的代数, K(（H）表示B（H）的紧算子理想, A（G）表示Calkin代数B（H）/K（H）,π:B（H）→A（H）是自然同态.若T∈B（H）,那么S[π（T）]和S（T）分别表示π（T）和T的相似轨道.借助于Voiculescu的非交换Weyl-von Neumann定理以及Apostol,Fialkow,Her
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设H是一个复可分无穷维Hilbert空间,以B（H）表示H上的所有有界线性算子构成的代数, K(（H）表示B（H）的紧算子理想, A（G）表示Calkin代数B（H）/K（H）,π:B（H）→A（H）是自然同态.若T∈B（H）,那么S[π（T）]和S（T）分别表示π（T）和T的相似轨道.借助于Voiculescu的非交换Weyl-von Neumann定理以及Apostol,Fialkow,Herrero和Voiculescu的相似轨道定理,人们对于算子的相似轨道、酉轨道的结构和性质已经有了较好的理解.但对于Calkin代数中相似轨道和酉轨道的结构人们仍知之甚少.譬如,由于A（H）中的酉群和可逆元群都不连通,A（H）中的酉轨道和相似轨道都未必是连通的.关于Calkin代数中相似轨道的结构,Apostol,Fialkow,Herrero和Voiculescu提出了下面的猜想:若T∈B（H）不与任意Jordan算子的任一紧扰动相似,那么S[π（T）]=π[S（T）].本文的第一部分内容主要研究Calkin代数中相似轨道和酉轨道的结构.我们首先给出了Calkin代数中相似轨道和酉轨道的一个刻划.在此基础之上,我们对Apostol,Fialkow,Herrero和Voiculescu的上述猜想给出了否定的回答.我们还研究了Calkin代数中相似轨道与酉轨道之间的关系,给出了Calkin代数中相似轨道连通的充要条件.另外我们研究了与Calkin代数中相似轨道和酉轨道相关的一些算子逼近问题.本文的另外一部分内容主要研究Hilbert空间上算子的分类问题.在算子理论中,算子的分类问题是一个既基本又复杂的问题. 2001年,纪友清和李觉先对算子引入了一种新的二元关系-强近似相似.在本文中,对于一大类拟三角算子以及一类在算子代数中稠密的算子,我们证明了强近似相似是一个等价关系,并且给出了它们在强近似相似关系下的分类.作为推论我们得到了一类Cowen-Douglas算子的强近似相似分类.
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