微分方程cauchy问题是不适定的,当测量的Cauchy数据带有微小的扰动,很可能会引起反演结果的巨大偏差.因而对Cauchy问题的研究,特别是提出有效的、稳定的、可实现的、快速的数值计算方法是当今的重要课题之一本论文主要研究了满足周期条件的Laplace方程初值问题和Helmholtz方程Cauchy问题的不适定性,并给出了相应的数学模型,同时提出了有效的、稳定的数值计算方法.论文分为五部分.第一章,首先简单介绍了Helmholtz方程的物理背景,之后对Cauchy问题及Helmholtz方程的研究状况做简短的综述.第二章,主要介绍了不适定问题及求解不适定问题的数值算法.我们针对性的介绍了Helmholtz方程Cauchy问题和初值问题,总结了相应的数值算法,以及数值算法在反问题方面的应用.第三章,考虑了周期结构Cauchy问题即椭圆方程初值问题的数值求解。我们把微分方程初值问题转化为等价的算子方程,之后对算子的谱的构成做了详细的分析,将特征空间分为两个子空间,其中一个子空间的问题严重的不适定,针对该子空间问题的求解提出了正则化策略.具体结论如下：求U（y）=（u（y）,ω（y））T,u∈C1（[0,1];Hp0×Hp0）,满足定理1算子A的谱为σ（A）={（2nπ）；n=0,±1,±2,…},其对应的特征函数为令H+=span{Vn（1）,Vn（2）},H-=span{Vn（1）,Vn（2）}-1n=∞,H0=span{V0},其中V0=（01）,则D（A）∈H+（?）H-（?）H0,并且A（H+）∈H+,A（H）∈H-,4（H0）∈H0即H+,H-和H0都是算子A的不变子空间。记方程（1）可分解为d/dyU（y）=A+U+（y）,（2） d/dyU（y）=A0+U0+（y）,（3） d/dyU-（y）=A-U-（y）,（4）关于方程（2）-（4）,有如下结果：定理2算子-A+,A0和A分别生成空间H+,H0和H-上的C0算子半群E+（y）,E0（y）和E-（y）.并且,方程（2）,（3）,和（4）的解U+（y）,U0（y）和U-（y）满足算子方程组我们提出了一种带有正则化策略的数值方法,相应的正则化问题的解的表达式：该方法尚未在其它文献中出现过,且通过数值试验证明了本文方法的可行性及易实现性。第四章,考虑利用一个入射波和在光栅上部一条直线Гb上的散射场反演单周期良导体光栅的形状。先利用Dirichlet-to-Neumann映射得到散射场在Гb上的法向导数值,然后应用求解椭圆方程初值问题的谱方法求解Helmholtz方程Cauchy问题,得到Гb以下的全场,最后逐点寻找全场的零点并连接,得到的曲线即为反演的光栅形状。主要结论如下：已知全场满足方程其中uα（x+l,y）=uα（x,y）,Ωlb={（x,y）;b>y>f（x）,x∈[0,l]}（?）u/（?）n为边界Гb上的外法同导数,T为已知的Dirichlet-to-Neumann算子,u0已知,α=ksinθ,θ是入射角,k是波数.将该问题转化为等价的初值问题：求解（u,w）满足方程对于定义算子其定义域为其中L是微分算子那么问题（8）可表述成如下抽象初值问题：求U（t）=（u（t）,ω（t））T,u∈C1[0,1]; Hp0×Hp0满足定理3算子A的谱为σ（A）={λn;n=0,±1,±2,…},其中：其对应的特征函数为这里令σi（A）={λn;m∈Zi},σ+（A）={λn;λn>0,且n∈zr},σA={λn;λn<0,且n∈Zr},H+=span{Vn,λn∈σ+（A）}n∈Zr·H=span{Vn,λn∈σA∪σ（A）}n∈Zi∪Zr,则D（4）∈H+（?）H-,并且A（H+）∈H+,A（H-）∈H-,即H+和H都是算子A的不变子空间。记方程（11）可分解为d/dtU+（t）=A+U+（t）（12） d/dtU+（t）=A+U+（t）（13）定理4算子-A+和A分别生成空间H+和H上的C0算子半群E+（t）和E-（t）.并且,方程（12）和（13）的解U+（t）和U-（t）满足算子方程组定理5当t>0时,算子E+（t）:H+→H+和Et:H-→H皆为紧算子.故问题（7）的正则化解为通过数值试验证明了该方法是可行的。第五章,对论文的主要工作做了总结,并提出了将要考虑的问题.