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本文共分为三个部分。
在第一章中,我们对Matveev[38]定义的一些介于可数紧性与伪紧性之间的星覆盖性质做了一些探讨。van Mill等人在[50]中就星紧性提出如下问题:具有Gδ对角线的星紧空间是否可度量化?在本章中,我们给出对该问题的一个否定回答。另外,我们举例说明星可数空间和星紧空间均严格弱于星收敛序列空间。
例0.0.1存在具有Gδ对角线的第二可数星紧空间X,使得X不是可度量化的。
在第二章中,我们研究了一些能够用g-函数刻画或定义的广义度量空间,特别是那些同时推广了可数紧空间以及度量空间的空间。给出了关于拟-Nagata空间度量化的一些定理以及对某些具有层结构的空间的一些刻画。
定理0.0.1(a)强α的拟-Nagata拟-γ空间可度量化;
(b)具有拟-G*δ(2)对角线的拟-Nagata拟-γ空间可度量化;
(c)具有性质A的拟-Nagata拟-γ空间可度量化。
定理0.0.2(a)强α的拟-Nagata wθ空间可度量化;
(b)c-层型的拟-Nagata wθ空间可度量化;
(c)具有性质A的拟-Nagata wθ空间可度量化。
定理0.0.3对空间X,下列条件等价:
(a)X是层空间;
(b)对任意闭集F(∈)X,存在X的开集列{U(n,F)}n∈N满足:
(1)∩n∈NU(n,F)=F,
(2)对任意n∈N,若F(∈)H,则U(n,F)(∈)U(n,H),
(3)对任意满足K∩F=φ的紧集K(∈)X及闭集F(∈)X存在m∈N使得K∩U(m,F)=φ;
(C)对任意闭集F(∈)X,存在X的开集列{U(n,F)}n∈N满足:
(1)对任意n∈N,F9∈)U(n,F),
(2)对任意n∈N,若F(∈)H,则U(n,F)(∈)U(n,H),
(3)设{Fn}n∈N为X的递减的闭集列,则∩n∈NU(n,Fn)=∩n∈N Fn且对任意紧集K∈X,若存在n∈N使得K∩Fn=φ,则存在m∈N使得K∩U(m,Fm)=φ;
(d)存在算子V使得对X的任意递减的闭集列(Fj)j∈N存在X的开集列(V(n,(Fj)))n∈N满足:
(1)对任意n∈N,Fn(∈)V(n,(Fj)),
(2)若(Fj)(≤)(Hj),则对任意n∈N,V(n,(Fj))(∈)V(n,(Hj)),
(3)∩n∈NV(n,(Fj))=∩n∈NFn,且对任意闭集K∈X,若存在n∈N使得K∩Fn=φ,则存在m∈N使得K∩V(m,(Fj))=φ;
(e)将(d)中的紧集K换成收敛序列S;
(f)将(c)中的紧集K换成收敛序列S;
(g)将(b)中的紧K集换成收敛序列S。
在最后一章中,我们讨论了某些广义连续性之间的关系,通过比较,我们指出这些广义连续性中有些是等价的。另外,我们研究了理想拓扑空间中的广义连续性,在理想拓扑空间中定义了一些新的广义连续性,并利用它们给出了一些新的关于连续性分解的定理。
定理0.0.4对映射f:X→Y,下列条件等价:
(a)f为α-连续映射,
(b)f为A1-连续映射,
(c)f为β1-连续映射。
定理0.0.5对映射f:X→Y,下列条件等价:
(a)f为预-连续映射,
(b)f为A2-连续映射,
(c)f为β2-连续映射。
定理0.0.6对映射f:(X,τ,I)→(Y,(の)),下列条件等价:
(a)f连续,
(b)f既预-I-连续又WBI-连续,
(c)f既α-I-连续又WCI-连续。