四元数和四元数矩阵理论因其在刚体动力学、量子力学、机器人技术、捷联惯性导航、陀螺使用理论、人造卫星姿态控制及计算机图形学等领域内有着广泛的应用,近年来已受到纯粹和应用代数学家们越来越多的关注.本论文讨论了在四元数理论及其应用领域广泛存在的单个四元数矩阵的约化、四元数矩阵对的约化以及若干四元数矩阵方程的求解等问题.主要研究结果如下:1.第二章中,我们研究了四元数矩阵的广义LU分解.证明了任意给定的四元数矩阵A均存在广义LU分解,且A的广义LU分解标准型是唯一的.在此基础上,我们得到了A有LU分解的一个充要条件.作为四元数矩阵广义LU分解的一个应用,我们还研究了四元数矩阵超定方程解的问题,得到了超定方程有最小二乘解的一个充分条件,并给出了具体求解该最小二乘解的方法.2.第三章中,首先,我们引入了四元数矩阵对逆步等价的概念,并给出了四元数矩阵对在逆步等价意义下的标准型.我们证明了在不计分块次序的条件下,四元数矩阵对的逆步等价标准型唯一.进一步,我们给出了两个四元数矩阵对逆步等价的充分必要条件.作为四元数矩阵逆步等价标准型的一个应用,我们研究了四元数矩阵方程组解的问题.3.第四章中,我们给出了一个正则四元数矩阵对的同时复化算法,并在此基础上得到了任意四元数矩阵对的复化算法.作为应用,研究了四元数矩阵方程AXB - CXD = E解的算法问题,得到了一个可行的求解算法.4.第四章中,我们还研究复矩阵方程AXB - CXD = E解的问题.通过将此复矩阵方程看为四元数体上矩阵方程,我们分别给出了其有解和有唯一解的充分必要条件,并给出了具体的求解算法.