本文主要利用Brunn-Minkowski理论及L_p-Brunn-Minkowski理论，研究了凸几何与离散几何中的一些极值问题。 除去绪论外，全文可分为下面的三个部分 (Ⅰ)第一部分主要由第二章，第三章和第四章构成，主要内容为Brunn-Minkowski理论中的一些极值问题。在第二章中，我们主要讨论了经典的Loomis-Whitney不等式，结合E.Lutwak引进的混合体的概念，我们在John基上建立了混合体的Loomis-Whitney不等式，并且把它推广到了更为一般的向量基上；在第三章中，我们主要讨论了Schneider投影问题以及E.Lutwak，D.Yang和G.Zhang给出的修正形式的Schneider投影问题。在凸体的面积测度是迷向测度的前提下，我们给出了Schneider投影问题的一个上界，并讨论了凸体的投影和截面的一些极值性质。对于修正形式的Schneider投影问题，我们就正多边形给出了肯定的回答；在第四章中，我们主要讨论了正则单形与John定理的关系，建立了正则单形的一些极值性质。 (Ⅱ)第二部分主要由第五章构成，主要内容为L_p-Brunn-Minkowski理论中的一些极值问题。我们给出了最近由E.Lutwak，D.Yang和G.Zhang所建立的L_p-Busemann-Petty质心不等式的对偶形式，建立了对偶L_p质心体的一些极值性质，并且就L_p投影体建立了一个Brunn-Minkowski型的不等式。 (Ⅲ)第三部分主要由第六章和第七章构成，主要讨论了一类离散几何问题以及给出了算术—几何平均值不等式的一个推广。在第六章中，我们引进了新的定义来描述由一个给定的凸图形内的n个点构成的面积不超过该凸图形四分之一的三角形个数的最小值，从而把A.Soifer的系列结果推广到了最优。在第七章中，我们给出了一个混合型的算术—几何平均值不等式，并且进一步得到了它的幂平均形式。