1637年，法国数学家费马提出了下面的猜测：当n＞2时，xⁿ+yⁿ=zⁿ没有正整数解。为了证明费马大定理，只需证明方程x⁴+y⁴=z⁴和x^p+y^p=z^p（p是个奇素数）均无正整数解。费马本人证明了n=4的情形，而对于指数是奇素数时费马大定理的证明进展相当缓慢。之后，数学家们称方程x^p+y^p=z^p，p（?）xyz没有正整数解为费马大定理第一情形，而方程x^p+y^p=z^p，p|xyz没有正整数解为费马大定理第二情形。二十世纪初，Wieferich[24]与Mirimanoff[19]分别证明了：如果p（?）q₂（p），p（?）q₃（p），则费马大定理第一情形成立，这里q₂（p）=(2^φ（p）-1)/p，q₃（p）=(3^φ（p）-1)/p （p≠3）分别是以2、3为底的欧拉商。1938年，Lehmer在文献[17]中提到，q₂（p）≡q₃（p）≡0（mod p）（?）sum from r=1 to [p/n] 1/r≡0（mod p），n=2，3，4，6。综合Wieferich，Mirimanoff和Lehmer的结果，我们可以这样描述：如果对于n=2，3，4，6中的一个有sum from r=1 to [p/n] 1/r（?）0（mod p），那么费马大定理第一情形成立。所以Lehmer[17]同余式sum from r=1 to （p-1）/2 1/r≡2q₂（p）+pq₂²（p）（mod p²），（*）其中p是奇素数，在证明费马大定理中起到了至关重要的作用。因此，研究此类形式的同余式显得非常有意义。本文分成三大部分。在第一部分中，我们研究整数幂模意义上的同余理论，把Lehmer的一组与（*）形式类似，意义等同的包含欧拉商的同余式推广到任意整数幂模上，并利用这个结论得出一组组合数的公式；还将其另一个有关欧拉数的同余式sum from r=1 to [p/4] 1/r²≡（-1）^（p-1）/24E_p-3（mod p）做到了素数幂模上。在第二部分中，我们考虑Zhao的以下结论S（1，1，1；p）≡-2B_p-3（mod p）的自然推广S（α，β，γ；p）（mod p），其中α，β，γ为任意正整数。我们得到了S（α，β，γ；p）模p的精确表达式，并且得到几个有关Catalan数的同余式；对于偶数α+β+γ，由于它是p的倍数，所以我们进而考虑了模p²的情况。在第三部分中，我们做了广义二项式系数意义下Babbage，Glaisher和Ljunggren同余式相对应的推广，部分地推广了Andrews的q-模拟的有关结论。0．1含有欧拉商的同余式及其应用1938年，Lehmer[17]建立了有名的同余式sum from r=1 to （p-1）/2 1/r≡-2q₂（p）+pq₂²（p）（mod p²），q₂（p）=(2^φ（p）-1)/p是Euler商。2002年，蔡天新[3]证明了对任何奇数n＞1都有（?） 1/r≡-2q₂（n）+nq₂²（n）（mod n²），此处q_i（n）=(i^φ（n）-1)/n，（i，n）=1是以i为底的n的Euler商。显而易见，Lehmer同余式是这个同余式的特殊情况。在文献[17]中，Lehmer还得到了另外一组同余式：sum from r=1 to （p-1）/2 1/p-2r≡q₂（p）-pq₂²（p）（mod p2），（0．1．1） sum from r=1 to [p/3] 1/p-3r≡1/2 q₃（p）-1/4 pq₃²（p）（mod p²），p＞3 （0．1．2） sum from r=1 to [p/4] 1/p-4r≡3/4 q₂（p）-3/8 pq₂²（p）（mod p²），p＞3 （0．1．3） sum from r=1 to [p/6] 1/p-6r≡1/3 q₂（p）+1/4 q₃（p）-1/6 pq₂²（p）-1/8 pq₃²（p）（mod p²），p＞5 （0．1．4）其中[x]表示x的整数部分。在本文的第一部分，我们首先我们推广了式（0．1．1）-（0．1．4），得到了定理1当n为奇数时有sum from r=1,（r,n）=1 to [n/2] 1/n-2r≡q₂（n）-1/2 nq₂²（n）（mod n²）, （3,n）=1 sum from r=1,（r,n）=1 to [n/3] 1/n-3r≡1/2 q₃（n）-1/4 nq₃²（n）（mod n²）, （3,n）=1[sum from r=1,（r,n）=1 to「n/4」1/（n-4r）≡3/4q₂（n）-3/8nq₂²（n）mod n²),（3,n）=1 sum from r=1,（r,n）=1 to「n/6」1/（n-6r）≡1/3q₂（n）+1/4q₃（n）-1/6nq₂²（n）-1/8nq₃²（n）（mod n²）,（15,n）=1作为定理1的应用，我们有定理2若n为奇数，则其中φ_e（n）=∑_d|nμ（n/d）「d/e」是广义欧拉商函数。注记：在引理1.3.1中，我们将证明（-1）^φ_e（n）=-1当且仅当n是素数幂p^α的形式，并且p满足当e=2时p≡3（mod 4）；e=3时p≡2（mod 3）；e=4时p≡3或5（mod 8）；e=6时p≡7或11（mod 12）。由定理2，我们可以得到推论1如果p，q为不同的奇素数，则然而，我们不能将Lehmer以下公式推广到任意整数模上去：sum from r=1 to「p/4」1/r²≡（-1）^（p-1）/24E_p-3（mod p），（0.1.5）此处素数p≥5，其中E_2n是第2n个欧拉数，用以下生成函数定义：sec x=sum from n=0 to∞（-1）ⁿE_2nx²ⁿ/（2n）!’|x|＜π/2.我们把（0.1.5）推广到素数幂模上，得到以下结论：定理3如果奇素数p≥5，整数l≥1，那么sum from r=1,（p,r）=1 to「p^l/4」1/r²≡（-1）^（pl-1）/24E_{φ（p^l）-2}（mod p^l），特别地，当p=3时，sum from r=1,（3,r）=1 to「3^l/4」1/r²≡（-1）^（3l-1）/24E_{φ（3^l）-2}(mod 3^l-1)。0．2三重调和和的同余式接下来，我们要研究的是与贝努利数有关的多重调和和问题，这也是近年来数论研究的一个热点。首先，我们给出一些定义和记号，以及相关的背景材料。贝努利数B_k由以下递归关系来定义[10]众所周知，对于整数k≥1有B_2k+1=0，并且B₀=1，B₁=-1/2，B₂=1/6，B₄=-1/30…。很多作者研究过与贝努利数有关的同余式。Zhao[26]通过计算多重调和和首先得到以下同余式sum from i+j+k=p,i,j,k＞0 1/ijk≡-2B_p-3（mod p）。（0.2.1）周侠和蔡天新[29]将此推广为受此启发，我们定义并研究了较（0.2.1）式左边更一般的形式：三重调和和S（α,β,γ;n）=sum from i+j+k=n,i,j,k＞0 1/i^αj^βk^γ，其中n≥3，α，β，γ都是正整数．我们要考虑的是当n是素数时的情形。因为α，β，γ的位置是对称的，不妨设α≤β≤γ，称w=α+β+γ为S（α，β，γ；n）的权。通过一些初等的技巧如贝努利数的性质，递归方法等，我们可以证明：定理5 p为素数，（ⅰ）若w是偶数且p≥w+3，则S（α，β，γ；p）≡0（mod p）；（ⅱ）若w是奇数且p≥w，那么S（α，β，γ；p）≡r（α，β，γ）B_p-w （mod p），（0.2.2）其中将（0.2.2）中的α，β，γ取一些特殊值，并利用恒等式可以得到定理6设n是任意正整数，则对任意素数p≥6n-1，有S（2n-1，2n，2n；p）≡0（mod p）；及对p≥6n+1有S（2n，2n，2n+1；p）≡C_2nB_p-6n-1 （mod p），其中是第k个Catalan数。由于在偶数权的情况下，三重调和和是p的倍数，所以我们考虑素数平方模的情形。我们通过形式上的转化，令T（α,β,γ;p）=sum from 1≤i+j≤p-1 1/i^αj^β（i+j）^γ，容易验证（-1）^γS（α,β,γ;p）≡T（α,β,γ;p）+γT（α,β,γ+1;p）p （mod p²）。（0.2.3）故我们要想得出S（α,β,γ;p）模p²的结果，只要先计算T（α,β,γ;p）模p²。事实上，我们得到了以下结果：定理7若w=α+β+γ为偶数，则T（α,β,γ）≡{（R（α,β,γ）-w（（?）））/2（w+1）}B_p-w-1p （mod p²），（0.2.4）其中由（0.2.3）和（0.2.4）即可得到S（α，β，γ；p）模p²的结果。0．3有关广义二项式系数的同余式很多数论学家将一些著名的同余式推广到高斯二项式系数上，如Andrews[1]。我们这里要考虑的是另一种有意义的同余式即与广义二项式系数有关的同余式。设A，B为非零整数，Lucas序列{u_n}_n∈N如下定义：u₀=0，u₁=1，u_n+1=Au_n-Bu_n-1，其中n=1，2，…。由递归关系容易得到u_n=sum from 0≤k＜nα^kβ^n-1-k，其中α=(A+△^1/2/2,β=(A-△^1/2/2，△=A²-4B。记[n]=Π_0＜k≤nu_k，胡宏和孙志伟[11]考虑了这样一类广义二项式系数：特别地，上式当A=2且B=1时，就是一般的二项式系数（（?））；当A=q+1，B=q（此处q为整数且|q|＞1）时称为高斯二项式系数，记作（（?））_q，即当A=1且B=-1时，由于u_j=F_j（j=0，1，2，…），广义二项式系数就变为Fibonacci系数[25]对于素数p≥3，Babbage在1819年首先证明：1900年，Glaisher证明了对于素数p≥5，其中整数h＞2。1952年，Ljunggren和Jacobsthal将（0.3.2）式分别推广为其中整数h＞j＞0，素数p≥5，a满足p^a‖p³hj（h-j）。由（0.3.3）、（0.3.4）式可以得到本文中，我们证明了（0.3.1）、（0.3.2）、（0.3.5）在广义二项式系数上的相应同余式，并得到关于Fibonacci系数的式子。若p为素数，且A，B，u_n如前面定义，我们得到以下结论：定理8若（A，B）=1且u_p≠±1，p为奇素数，则[2p-1，p-1]≡B^p（p-1）/2 （mod u_p²）。（0.3.6）利用式（0.3.6），我们可以证明定理9若A，B，u_n如前定义，则sum from i=1 to p-1 u_i-1/u_i≡（p-1）/2 A/B （mod u_p）。注记：令A=q+1，B=q，则u_i即为[i]_q=（1-qⁱ）/（1-q），那么u_i-1/u_i=(q^i-1-1)/（qⁱ-1）=1/q（1-1/[i]_q）。因此，（0.3.7）式实际上是Andrews的定理4[1]的部分推广，即sum from i=1 to p-1 1/[i]q≡（p-1）/2（1-q）（mod [p]_q），其中p为奇素数。由以上两个定理及一些基本的技巧，我们得到（0.3.2）的推广：定理10若h，B都是正整数，则[hp-1,p-1]≡B^{p（h-1）（p-1）/2} （mod u_p²）。（0.3.8）令u′₀=0，u′₁=1且u′_u+1=v_qu′_n-B^qu′_n-1（n=1，2，….），如果[n，k]′是以{u′_n}来定义的广义二项式系数，那么我们可以做（0.3.5）式在广义二项式意义上的推广：定理11若整数h＞j＞0，B＞0，那么[hp-1，jp-1]≡[h-1，j-1]′B^{pj（h-j）（p-1）/2} （mod u_p²）。（0.3.9）事实上，（0.3.8），（0.3.9）分别是Andrews的定理2，定理3的部分推广。在（0.3.6）-（0.3.9）中取A=1，B=-1，由于u_j=F_j（j=0，1，2，…），我们就可以得到一组有关Fibonacci数的同余式，这将在正文中提到。