1957年,A.éRnyi引入了数的β展式.虽然这是数的整数进制展式的推广,但是在实数表示理论中,β展式大大扩展了可简洁表示数的范围,如Parry数等.另一方面,对于一般的β展式而言,其对应的动力系统不具有有限Markov性.这使得β展式的研究在实数的表示理论以及动力系统的研究中都具有重要的地位.　　要研究β展式的度量性质,一个最基本的问题是给出柱集长度的精确刻画.我们知道,如果β动力系统具有有限的Markov性,则它所对应的柱集的长度是规则的,则我们可以给它所对应的柱集的长度的精确刻画.但是对于一般的β动力系统来说,由于其不具有有限的Markov性,柱集的长度可能变得非常不规则,那么我们就不容易给出它所对应的柱集的长度的精确刻画.本文以β展式的基本性质为基础,讨论β展式中具有规则长度的柱集的分布情况.　　本文的绪论部分主要介绍β展式的研究背景,系统地回顾了前人所做的工作,并指出本文所研究的问题和想得到的结果.　　第二章主要介绍了与本文相关的预备知识,主要包括与β展式有关的的允许序列和自允许序列的定义及相关性质等.　　第三章是文章的主要论述部分:详细阐述了柱集和满柱集的定义,满柱集判定条件和相关性质,介绍了满柱集在区间[0,1]上的分布情况.作为一个应用,我们获得了β展式中一个修正的质量分布原理.　　第四章主要介绍了与本文相关的几个重要结论及其证明过程,讨论了β展式柱集的长度,并对具有正则长度的柱集的分布进行刻画.作为满区间分布的一个应用,我们将考虑收缩耙问题：此处公式省略　　其中,i.o表示无穷多次,{zn}n≥1为区间[0,1]上的实数序列,f:[0,1]→R+的一个非负连续函数,Snf(x)表示遍历和f(x)+···+f(Tnβx).