【摘 要】
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设G=（V,E）是一个图,其中V是G的顶点集,E是G的边集.如果满足S?且V\S中的点都有一个邻点在S中,则称S是G的一个控制集.G的控制数γ（G）是G的最小控制集的基数.G的边控制集是边子集S’满足不在S’中的边和S’中某条边邻接.G的边控制数γ’（G）是G的最小边控制集的基数.设v是G的一个顶点,v的度是点关联的边数,表示为d（v）.若对所有v∈V都有d（v）=k,则G叫做k-正则的.令Kn表
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设G=（V,E）是一个图,其中V是G的顶点集,E是G的边集.如果满足S?且V\S中的点都有一个邻点在S中,则称S是G的一个控制集.G的控制数γ（G）是G的最小控制集的基数.G的边控制集是边子集S’满足不在S’中的边和S’中某条边邻接.G的边控制数γ’（G）是G的最小边控制集的基数.设v是G的一个顶点,v的度是点关联的边数,表示为d（v）.若对所有v∈V都有d（v）=k,则G叫做k-正则的.令Kn表示n个点的完全图.特别地,K3称作三角形,K4去掉一个边称作钻石.若F是一个图,将G称作无F的当且仅当它不包含F作为一个导出子图.特别地,若F=K1,3,则称G是无爪的.Henning等[2]给出了如下结论:若G是一个无爪的3-正则图,V可以被唯一地划分为一些集合,这些集合可以导出一个三角形或者钻石,将这种划分称作△-D-划分.假设由△-D-划分导出的三角形和钻石的数量分别为t和d.本文研究无爪的3-正则图G.首先,提出伪路的概念,考虑G的△-D-划分,对其导出的三角形的伪路进行研究,得出γ（G）≤t+d,在此基础上证明了满足γ（G）=t+d的充要条件并且刻画了满足该等式的图.其次,一般情况下γ（G）≤γ’（G）,利用控制数和边控制数的性质,通过对最小控制集和最小边控制集进行修正,证明了 γ（G）＜γ’（G）的情形,进而得到满足γ（G）=γ’（G）的必要条件,即:若G包含钻石,则与该钻石连接的一定是三角形.最后,本文给出图类F和组成图类R的基本图形及其连边关系,通过对不同情况的连边关系进行讨论,刻画了满足γ（G）=γ’（G）的无爪的3-正则图.
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设G=（V,E）是一个图,其中V是G的顶点集,E是G的边集.令S为V的一个子集,如果V\S里的每个顶点都与S中的一个顶点相邻,则称S是G的控制集.S （?） V是G的一个全控制集,如果S是G的控制集并且S的诱导子图中不存在孤立点,也就是S中的每个点在S中有一个邻点.G的最小控制集（全控制集）的基数称为G的控制数（全控制数）,记为γ（G）（γt（G））.顶点u ∈ V点边控制一条边vw∈E,如果1.
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