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非参数估计是统计学的重要研究方向,主要内容包括密度估计、回归估计和删失估计,其中密度估计是基础.密度函数的Lp风险估计已取得了丰硕的成果,而点态风险估计的研究相对较少.注意到点态估计要求待估函数具有整体正则性不够自然,本文定义了局部Holder空间,并在该空间中研究了密度函数点态风险的自适应小波最优估计.受 Rebelles 工作(G.Rebelles.Pointwise adaptive estimation of a multivariate density under independence hypothesis.Bernoulli,2015,21(4):1984-2023)的启发,首先证明密度函数的线性小波估计器在点态风险意义下达到最优,不足之处是该估计器非自适应;针对各向同性密度函数,通过传统的阈值方法定义的非线性小波估计器提供了自适应且近似最优估计,但这一方法不适合各向异性的密度估计;幸运的是数据驱动估计克服了困难且收敛阶优于非线性小波估计;同时,针对具有独立结构的密度函数,给出了更好的收敛阶,消除了维数灾难由于测量数据含有误差,加法噪声模型受到关注.本文第4章在局部Holder空间中讨论了严重病态噪声反卷积模型密度函数的点态风险估计.在给出下界估计之后,利用线性小波估计器通过截断的方式得到新的估计器,并证明其达到最优收敛阶且是自适应的.不同于经典密度估计,那里的线性估计器虽然达到最优收敛阶但非自适应.最后讨论一类广义反卷积模型,它包括传统密度模型和反卷积模型作为特例.针对这一模型,Lepski和Willer在Nikol’skii空间中利用核方法研究了密度函数Lp风险的自适应最优估计(见文献O.Lepski and T.Willer.Lower bounds in the convolution structure density model.Bernoulli,2017,23(2):884-926;O.Lepski and T.Willer.Oracle inequalities and adaptive estimation in the convolution structure density model.Ann.Statist.,2019,47(1):233-287).本文第5章利用小波方法在局部Holder空间中讨论各向异性密度函数点态风险的自适应最优估计.多数结果与第3章的经典模型类似,最大的区别是证明了数据驱动估计不仅自适应且近似最优,同时达到了最优的自适应收敛阶