在信息时代,图像作为一个重要的信息载体,已经融入到几乎各个领域,从人工智能、航空航天、生物医学、军事科学、公共安全到人们日常生活。然而,图像在采集、压缩处理或传输过程中,常由于受到系统、环境或人为等因素的影响,使得图像质量大为下降。这不仅影响了视觉效果,还可能直接影响到后续更高层次的应用,如识别、分类、决策等,因此图像去噪在图像处理中显得尤为重要。从数学上讲,图像去噪是一个逆问题,即仅凭观测图像(带有噪声的图像)来推测原始无噪声图像,因此问题的最优解往往不具有唯一性和稳定性,从而给图像去噪的算法设计带来很大的困难。另外,去除噪声的同时必然会对原图像中的重要细节有所影响,因此如何能够在去除噪声的同时尽可能地保留原图像的重要结构和细节成为图像去噪的又一难点。基于偏微分方程的图像去噪算法,能够比较好地权衡图像去噪与图像结构的保持,已经成为近年来研究的一个热点。然而,大多数应用于图像去噪的偏微分方程模型都属于基于扩散的抛物型方程。虽然抛物型方程的扩散平滑作用能够去除图像的噪声,还可根据图像结构自适应调整扩散强度来实现图像结构的保持,但这种保持结构的能力非常有限。大量研究证明,具有波动特性的双曲型方程在图像结构检测与增强上比抛物型方程更具优势。因此,为了兼顾去噪与结构的保持,本文提出了一系列扩散-波动方程模型。它们的一个共同特点是它们介于扩散和波动方程之间,因此具有两者的中间特性:一方面,具有扩散特性的抛物型方程可以有效去除图像噪声;另一方面,具有波动特性的双曲型方程能够保持图像的边缘结构和亮度高度振荡的纹理结构。除此之外,每个模型都有其各自特点,从不同角度来提高图像去噪性能,具体如下:(1)本文提出一种空间分数阶的具有扩散-波动调和特性的偏微分方程模型。该模型利用空间分数阶导数,使方程能够介于二阶与四阶偏微分方程模型之间,因此可以很好地避免二阶模型的“阶梯效应”和四阶模型的“斑点效应”。此外,文中证明了模型解的存在性与唯一性,并设计相应的数值计算方法。(2)本文提出一种带可变非线性项的扩散-波动方程模型。该模型利用可变的指数项,可以根据图像结构自适应的调节扩散方式,能够更好地保持图像边缘结构信息。另外,采用边缘连续性的度量方式,用梯度的连续性代替梯度幅值来识别噪声与边缘,从而根据判断更好地指导扩散方式的调节。最后,通过理论证明,新模型具有唯一解。(3)本文提出一种非局部扩散张量的扩散-波动方程模型并将其应用于图像流状纹理的去噪与增强。为了解决微分等算子的局部性,首先将基本的扩散张量推广到非局部,再将其加入到扩散-波动方程模型中,因此能够在去除噪声的同时,增强修复流状纹理。此外,文中通过理论证明了模型解的存在性与唯一性。(4)本文提出一种带有非局部调节的分数阶扩散-波动方程。该模型利用分数阶导数构建非局部项,加入到线性扩散-波动方程中,而且没有引入复杂的非线性项。本文证明了模型解的存在性与唯一性,设计了相应的数值计算方法,并证明数值算法的稳定性。实验证明,该模型能够达到甚至优于某些非线性模型。