椭圆曲线加密体制（ECC）是一种基于椭圆曲线上的离散对数问题而设计的非对称公钥密码体制。本文主要分析研究了最优扩域（OEF）上的快速算法及其在ECC 上的应用实现。椭圆曲线的计算算法可分为高层计算和低层计算两类算法。其中高层计算算法主要处理椭圆曲线上点的操作,而低层算法侧重于处理有限域中的多项式计算算法,本文通过将这两者有机结合来提高椭圆曲线密码系统中的计算速度。本文对理想扩域的结构特点和椭圆曲线上的标量乘（kP）快速算法进行了分析研究,并对这些快速算法加以测试改进。在最优扩域上的快速算法的研究过程中,通过分析子域求模的快速算法、域元素求逆（MAIA 算法、EEA 算法）和多项式相乘（硬乘算法、Karatsuba 算法）等经典算法后,结合我们选择的有限域(Ⅱ型最优扩域GF ((2³² -46305)⁵))的特点,本文提出了一种基于Karatsuba 法的改进型域元素多项式乘算法,并通过理论分析证明该改进算法的计算复杂度低于Karatsuba 算法。经测试（CPU/PⅣ1.4GHz,MS Visual C++6.0）,验证改进算法的性能与Karatsuba 算法相当,比硬乘算法提高了大约4%。在椭圆曲线上的标量乘快速算法的研究过程中,通过分析计算标量乘（二进制算法、Montgomery 算法、NAF 算法、2P + Q算法和FBW 算法等）的算法,本文提出了一种改进型3P 算法和一种基于固定基的MFBW 算法。改进型3P 算法通过优化正整数k 的表示形式来降低标量乘的计算复杂度,MFBW 算法利用一些预计算来提高标量乘的计算速度,并且将这两种改进算法结合来计算标量乘。经测试,改进算法的性能比常规的二进制算法和Montgomery 算法提高了大约15% ,比NAF 算法提高了大约7%。本文利用VC++内联式汇编和C 语言对算法进行软件实现,并给出了测试结果。与Daniel V.Bailey 仿真的结果相比,我们的测试数据与他的测试数据处于同一数量级或优于他的测试数据。