人们从社会网络、Internet网络、合作网络以及生物网络等现实网络中发现了小世界性和无标度性，使得复杂网络的研究成为一个热点。为了从理论上解释这些特征，研究者提出了许多模型，小世界网络模型解释了社会网络“六度分离”的现象，BA模型研究了幂律分布的形成机制。在此基础上，许多其他的改进模型层出不穷，如增长网络模型、演化网络模型、局域世界演化模型等，它们分别从模型的演化机制、模型算法上做了许多工作。但是这些模型只侧重一些方面而很少考虑这样一个事实，例如社会网络中，个人的精力、资源等是有限的，因此网络演化时节点必然受到成本限制，无法无限制地与其他节点相连；Internet网络中，路由器的端口是有限的，连接到每个路由器上的线路不可能无穷大，这样的现象比比皆是。因此网络演化的过程中，必须考虑节点度的成本，这对实际网络结构特征的研究具有重要意义。 本文的主要内容和创新之处可概述如下： 1．关于研究复杂网络的数学方法的介绍复杂网络最主要的一个特征就是无标度，即其度分布服从幂律分布。本文首先介绍了幂律分布的一些性质，并从数学的角度对这些性质做了一点推导。其次，从数学的角度介绍研究复杂网络模型的主方程法。主方程法为什么可以解决此类演化问题呢?为此，本文从马尔科夫过程入手，引入主方程法，分析其物理意义及在演化网络模型中的应用。 2．关于复杂网络模型的研究由于网络节点度成本不可忽视，因此必须建立考虑节点度成本的演化模型。本文在BA模型的基础上增加节点度成本有限的机制，建立LBA模型。理论分析发现，当最大成本度M低于新节点连边数的2倍时，即2m，网络演化有限步后停止，此时的网络结构是同质网络；而最大成本度超过该阈值时，网络可以无限制地演化；当最大度数无穷大时，该模型将退化为BA模型。利用平均场方法和数值计算的方法分析网络的结构，当M≥2m时，平均场方法计算的节点度分布仍是幂律的，其幂律指数在(2,3)之间，相比无标度网络小，但是更接近实际网络的无标度指数。数值模拟表明该结论是准确的，并且发现演化网络具有较高的集聚性和较短的平均最短路径，集聚系数随网络规模增大而衰减的速度较BA模型缓慢。该模型相比BA模型更适合模拟一些实际的网络，如Internet网络，社会网络等。 3．关于复杂网络模型稳定性的研究LBA 网络中具有有限度的节点可能会比较多，若受到攻击，其稳定性如何呢? 本文采用鲁棒性的概念度量稳定性。对 LBA 的鲁棒性分析后发现，LBA 网络对随机攻击具有相对较高的鲁棒性，删除大部分节点后，其平均最短路径并没有发生急剧的变化；而对蓄意攻击，尤其对最大度节点的攻击，其鲁棒性较低，删除不到30％的重要节点后，网络的连通性基本被破坏，只剩下孤立节点，但是相比BA网络的蓄意攻击，其鲁棒性较高。 4．关于复杂网络的应用研究作为节点度成本有限的一个典型应用，友谊网络还有着其他的一些特性，比如友谊随着时间的推移、迁居、死亡等原因会衰减；友谊网络之间具有较高的传递性，朋友的朋友可能就是我的朋友。因此鉴于这几点演化特征，本文建立适合友谊网络演化的模型，采用主方程法分析发现网络演化后同时具有幂律度分布和小世界性，但是幂律指数相对无标度网络幂指数较小。友谊网络不仅具有高度集聚的集团结构，较显著的小世界性，还存在孤立的节点。