【摘 要】
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Helmholtz方程是一个重要的数学物理方程,通常出现在涉及同时存在空间和时间依赖的偏微分方程的物理问题的研究中.电磁场中的波导问题、噪声的控制、薄膜振动等问题都是由Helmholtz方程控制的.基解方法（The Method of Fundamental Solutions,简称MFS）是解某种椭圆型边值问题的一种方法,可以被看作是一种间接边界元方法.在这个方法中,问题的解通过一组依据问题区域
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Helmholtz方程是一个重要的数学物理方程,通常出现在涉及同时存在空间和时间依赖的偏微分方程的物理问题的研究中.电磁场中的波导问题、噪声的控制、薄膜振动等问题都是由Helmholtz方程控制的.基解方法（The Method of Fundamental Solutions,简称MFS）是解某种椭圆型边值问题的一种方法,可以被看作是一种间接边界元方法.在这个方法中,问题的解通过一组依据问题区域外的信源来表示的控制方程的基本解进行近似,确定基本解的线性组合中的参数和信源的最终位置使得边界条件在最小二乘的意义下得到满足.在本文中,我们通过使用Bessel函数和Neumann函数的基解方法来研究Helmholtz方程,主要聚焦在它的误差分析和稳定性分析.我们得到了有界单连通区域上的误差界,但仅在圆盘区域上推导出了条件数的界.本文主要有如下三个新颖之处.首先是我们发现使用Bessel函数的基解方法比使用Neumann函数的基解方法更加有效.经过仔细分析后,我们注意到在使用Bessel函数的基解方法中,信源节点的半径R没有必要大于解区域的最大半径rmax.这与基解方法中著名的法则:rmax<R相违背.我们的数值实验结果支持我们的理论分析及结论.这是本文的第一个新颖之处.由于Bessel函数Jnn（x）有无限多个零点,因此对于Helmholtz方程,其误差分析比修正的Helmholtz方程[1]的误差分析要复杂很多.本文考虑了Jn（kR）≈ 0和Jn（kρ）≈0这种退化情形,也讨论了有界单连通区域的误差界.到目前为止,我们很少看到有关退化情形的误差分析的报道（例如,见Li[2]）.因此,本文的第二个新颖之处是给出了退化情形下基解方法的误差分析.对于使用Neumann函数的基解方法,基解方法的原则:rmax<R则必须遵循.但是,对于文[3]中的特解方法（The Method of Particular Solutions,简称MPS）,信源节点消失了.本文简要地给出了使用Neumann函数的基解方法的分析,指出在有界单连通区域,多项式收敛率可以达到.使用Neumann函数的基解方法的误差分析以及对不同方法的数值实验结果进行比较是本文的第三个新颖之处.此外,本文还揭示了使用Bessel函数和Neumann函数的基解方法会遭遇到伪特征根.伪特征根不是对应特征值问题的真实特征根,但由于算法的奇异性或数值解的发散性,得不到正确的解.
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