随机矩阵集中不等式是随机矩阵理论中的一个重要研究方向,它研究的问题是限定随机矩阵和的极端特征值（或范数）大于给定常数的概率,被广泛地应用于机器学习、压缩感知、量子计算、优化等领域。国内对这一问题的研究还处于起步阶段,因此本文总结了当前主流的随机矩阵集中不等式的框架。这些框架的主要步骤如下:首先,使用矩阵的拉普拉斯变换方法,通过矩阵矩母函数的迹控制随机矩阵和的特征值的尾部概率;然后,使用Golden-Thompson不等式或累积母函数控制矩母函数的上界。通过这些方法得到的随机矩阵集中不等式依赖于矩阵的维数,这阻止了它在高维或无限维矩阵中的应用。进行主成分分析和稀疏主成分分析的数据通常是高维数据,本文使用维数无关的随机矩阵集中不等式对它们的实际误差上界进行了研究,得到了指数形式的实际误差上界,适用于维数很高的数据。根据稀疏主成分分析的理论研究,对稀疏主成分分析进行了改进:为了克服其得到的主轴不正交的问题,基于施密特正交化的思想去除主轴的相关性。对三个数据集Wine、Heart和Sonar分别用稀疏主成分分析和改进的稀疏主成分分析降维,使用支持向量机分别对用两种方法降维的数据进行分类,实验结果表明使用改进的稀疏主成分分析降维的数据进行分类比使用稀疏主成分分析降维的数据分类的平均准确率和平均查全率分别提升5.8%和5.1%。因子分析的目标是获得符合简单性原则的因子载荷矩阵,将稀疏主成分分析和改进的稀疏主成分分析分别应用于因子分析的参数估计,实验结果表明稀疏主成分分析得到的结果易于解释,并且信息的损失较少,改进的稀疏主成分分析的信息损失相对较多。