论文部分内容阅读
为了统一连续分析与离散分析，德国数学家Hilger在1990年发表了名为《测度链分析——一个连续与离散计算的统一方法》的文章。引入了时间测度链上动力方程的概念。此文发表后受到数学家的广泛关注，并迅速发展成为一个重要的研究领域。时间测度的研究有许多重要的应用，如昆虫繁殖模型，病毒传播及改进股票市场的计算模式等。 有关微分方程边值问题解的存在性和多解性从二十世纪八十年代以来便得到了广泛的研究。本文主要利用锥拉伸与锥压缩不动点定理、不动点指数理论、Avery-Henderson不动点定理和Legget-Williams不动点定理研究时间测度上几类非线性微分方程边值问题解的存在性和多解性。本研究分为三个部分： 第一章讨论了时间测度链上半正边值问题(公式略)正解的存在性。其中T是一个时间测度链。文[6]利用锥理论和不动点指数方法研究了时间测度上一类二阶非线性微分方程的正解;文[7]利用Avery-Henderson不动点定理研究了时间测度上一阶非线性边值问题正解的存在性。但对于时间测度上半正问题的研究尚不多见。本文则利用锥拉压不动点定理，讨论了时间测度链上二阶非线性半正边值问题正解的存在性，得到上述问题两个正解的存在性结果。 第二章讨论了时间测度上一类二阶非线性边值问题(公式略)多个正解的存在性。在文[8]中Erbe L.和Peterson A. 利用锥拉伸和锥压缩不动点定理研究了该边值问题一个正解的存在性，文[6]中作者利用锥理论和不动点指数方法考虑了在相同边值条件下边值问题Lx(t)=-[r(t)x△(t)]△=f(t,x(σ(t))),t∈[a,b]一个正解的存在性。但对于该问题多个解的存在性结果，据我们所知还很少有人研究。因此，本章考虑了此问题，利用Avery-Henderson不动点定理讨论了该边值问题正解的存在性。并在一定条件下得到两个正解的存在性结果，并利用Legget-Williams不动点定理得到三个正解。 第三章讨论了时间测度链上带p-Laplace算子的m点边值问题多个正解的存在性及解对参数的依赖性。文献[64]考虑了如下p-Laplace算子型微分方程m点边值问题(公式略)，利用单调迭代理论，得到了迭代正解的存在性。本章则利用不动点指数理论和Legget-Williams不动点定理讨论了下述边值问题(公式略)正解的存在性及解对参数的依赖性。