论文部分内容阅读
确定Melnikov函数孤立零点个数的上界，是当今分支理论研究的热门课题之一，这一问题和确定Hamilton向量场在多项式扰动下极限环的个数密切相关．本文主要讨论了一类具有双同宿轨的Hamilton向量场在n次多项式扰动下Melnikov函数的孤立零点个数估计问题，考虑系统:{(x)=y+∈Pn(x,y)(y)=x-x3+∈Qn(x,y)其中0≤ε(《)1为小参数，Pn(x，y)，Qn(x，Y)都是关于x，y的次数不大于n的多项式．当ε=0时，该系统为Hamilton系统，且存在双同宿轨Γo={(x，y)|H(x，y)=1/2y2-1/2x2+1/4x4=0}．本文首先讨论了双同宿轨外侧大环族Γh={(x，y)|H(x，y)>0}在n次多项式扰动下的分支情况，在应用Petrov的复域方法估计Mel′nikov函数孤立零点个数时，由于支割线上存在奇点，本文采取了对围线进行改造的方法，得到了系统在闭轨线族Γh附近分支出极限环个数的上界为n．其次讨论了双同宿轨内侧两个对称小环族Γh+={(x，y)|H(x，y)<0，x>0)和Γh-={(x，y)|H(x，y)<0，x<0)在n次多项式扰动下的分支情况，其M1(h)的代数构造为 M1(h)=g0*(h)I0(h)+g2*(h)I2(h)+g(h)其中degg0*(h)≤[n-1/2]，degg2*(h)≤[n-3/2]，degg(h)≤[n/2]．本文通过对此式进行[n/2]+1次求导数去掉了g(h)项使得问题大大简化，应用Petrov的复域方法估计出了系统在闭轨线族Γh+和Γh-附近分支出的极限环个数的上界均为2n+[n/2]+2.