本文主要分为四章，第一章为预备知识，主要介绍了有限域中迹与范数，特征，次数矩阵，高斯和与指数和，仿射平面与射影平面以及Smith标准形等相关知识和重要结论.　　第二章中，介绍了有限域上费马曲线和一般曲线的研究现状，当 i∈{1,2,3}时，我们给出费马曲线uq-1+αvq-1+wq-1=0(α∈F*q)上Fqi-有理点[u，v，w]的具体形式及其个数公式N.当α∈F*q2时，给出P2(Fg2)上该费马曲线有理点个数的简单公式，并得到了这些曲线上的有理点乘积uvw为Fqi上立方数的充分条件.　　第三章中，介绍了zeta函数的相关研究背景，当有限域上代数簇的增广次数矩阵的Smith标准形满足一定的条件时，我们计算其zeta函数，从而用初等的方法证明了 Weil猜想中的“有理性”和“黎曼猜想的模拟”对于这类代数簇是成立的.另外，我们也计算了部分曲面的zeta函数.　　第四章中，我们对全文进行总结，并在此基础之上提出部分问题供大家参考.