泛函微分方程是从实际问题中抽象出来的描述时滞现象的数学模型,它广泛地应用于生物学、物理学、控制理论和工程等问题中.从而,研究泛函微分方程边值问题、反周期解等问题有着重要的意义.此外,作为新的研究热点,分数阶微分方程边值问题在各个领域同样有着广泛的应用,因此,深入探讨非线性分数阶微分方程边值问题解的存在性具有广泛的理论和实际意义.本文主要探讨了非线性泛函微分方程边值问题、反周期解问题及分数阶微分方程奇异边值问题解的存在性问题.全文共分四章,主要内容如下：第一章,介绍了有关泛函微分方程边值问题、反周期问题和分数阶微分方程发展的概况以及本文的主要工作.第二章,研究了具p-Laplace算子的三阶非线性泛函微分方程边值问题,借助于Avery-Peterson不动点定理和一些分析技巧,给出了多个正解存在的充分条件.第三章,利用重合度理论的一个推论和分析技巧,讨论了一类具有分布时滞的高阶中立型泛函微分方程反周期解的存在唯一性问题.在该问题中,中立项的系数c(t)依赖于t,这在以往的文献中没有出现过.而且,本章所得结论简明、容易验证.第四章,用锥上的拉伸与压缩不动点定理,探讨并给出了在非线性项有奇点的情况下,分数阶微分方程三点边值问题一个及多个正解存在的充分条件.