问题解决一直是心理学关注的课题，取得了大量有意义的研究成果。数学问题解决的心理研究历史发端相对滞后，综观国内外的相关研究，在数学问题表征、数学解题策略、数学解题能力的心理结构、数学解题的迁移、数学解题中的元认知因素等方面都有不同程度的探究和成果，但研究状况存在诸多缺陷。概括起来，其一。研究缺乏全方位的视角。心理学家关注解决数学问题的心理现象和规律的探索，很少涉猎心理研究与数学教学实践的融合，而数学教育家则习惯用演绎方式去推测解题心理活动，缺少在深层面揭示解题认知规律的实证研究。其二，研究的层面较低。研究的对象大多集中在小学生或初中生范围内，研究的材料主要是算术、平面几何及初等代数等有关的常量数学问题，对高级数学思维的问题解决研究不足。其三，研究方法尚待发展。心理学家拥有一套比较完整的心理研究方法，但从事数学教育的研究者往往缺乏这种知识，重思辨而轻实证。如何创新性地使用心理研究方法于数学解题心理研究，将定性与定量分析有机结合，是一个有待研究的问题。上述情形在国内显得更加突出，由此导致存在诸多的研究空白点，从而使系统的数学解题心理学（乃至数学学习心理学）体系难以建构。 本文研究的主要内容和结果。 1．数学问题空间的数学描述 一个数学问题由初始状态、目标状态和解题规则组成。解决数学问题，就是从初始状态出发，按照某些规则，经过一系列转化的中间状态，最后达到目标状态的过程。依据法则所进行的操作称为算子。解决一个数学问题过程的所有中间状态以及全部算子统称为问题空间。连结初始状态S₀与目标状态S_n的路径（S₀，S₁，……，S_n）称为问题空间的一个解，路径的长度n叫做解的长度。长度最短的解叫做问题P的最优解，记为L（P）或L（S₀，S_n）。两个问题P₁与P₂同构，是指存在双射f:S₁→S₂，使对于任意的Z₁，Z₂∈S₁，Z₁R₁Z₂ f（Z₁）R₂ f（Z₂），其中R₁，R₂分别是问题空间S₁，S₂中的关系。两个问题P₁与P₂同构，记为P₁≌P₂o两个问题P₁与P₂同态，是指存在满射f:S₁→S₂，使对于任意的Z₁，Z₂∈S₁，Z₁R₁Z₂ f（Z₁）R₂ f（Z₂）或f（Z₁）=f（Z₂）。两个问题P₁与P₂同态，记为P₁∽P₂。 在此基础上，给出了数学问题空间的6条结论。 2．数学问题解决的认知模式 由问题表征、模式识别、解题迁移和解题监控等4种认知成分以及个体拥有的数学知识基础、解题策略共同组成解决数学问题的认知模式。 3．CPFS结构理论 一个数学概念C的所有等价定义的图式，叫做概念C的概念域。 如果一组概念C₁，C₂，…C_n满足： C₁R₁C₂R₂C₃R₃…R_n-1C_n （*） 其中R_i（i=1，2，…，n-1）表示弱抽象、强抽象或广义抽象这三种数学抽象关系中的 一种，那么称（＊）为一条概念链，记为入二｛C；，C。，…C．｝。如果两条概念链的交集非 空，则称这两条链相交。如果。条概念链中的每一条都至少与其余的一条链相交，那么 称这0条链组成的概念网络的图式为概念系。 与命题A等价的命题集的图式叫做命题A的命题域。在一个命题集中，其中任意一 个命题都至少与其他某一个命题有“推出”关系，就称这个命题集的图式为一个命题系。 概念域、概念系、命题域、命题系（记为CPFS结构）是对数学认知结构的精确描述， 它反应了数学学习特有的心理现象和规律。 4．数学问题表征的实证研究 门)不同年龄阶段学生对数学问题表征存在着差异。知识背景、思维水平的不同直 接影响解题者对问题的合理表征。 （2）个体的 CPFS结构与问题表征有高度相关。完善的 CPFS结构有助于问题的正确 表征。 5．数学解题迁移的实证研究 门)若A到B是强抽象关系，则人到B的迁移容易产生。 （2）在强抽象、弱抽象、广义抽象关系中，迁移量依次减弱。 门)数学自我监控能力影响解题迁移。自我监控能力强的被试容易实现问题的迁移。 （4）解题者对靶题与源题之间共性关系意识及加工水平，对低、高难度问题解决的 迁移的影响没有显著差异；对中难度问题的解题迁移的影响有显著差异。 （5）个体的 CPFS结构与数学解题中的远迁移密切相关。优良的 CPFS结构有助于远 迁移的产生。 6．数学解题监控的实证研究 （1）解题自我监控能力对解答低难度数学问题没有显著影响；对解答中、高难度以 及开放性问题有显著影响。 （2）在解答数学问题中，内部调节比外部调节的作用更大，即有效的内部调节比外 部调节更有助于成功地解抉问题。 （3）优生与差生在解题自我监控能力以及 CPFS结构方面都存在显著差异。 （4）个体的数学自我监控能力和 CPFS结构对数学学业成绩有显著影响，其