算子理论主要来源于矩阵理论和关于积分方程的研究成果。算子理论中的许多基本概念都来源于矩阵理论。如算子的谱来源于矩阵的特征值。矩阵理论在现代数学的各个分支中都有应用。矩阵的标准型理论是矩阵理论的核心内容之一。Jordanian标准型定理是矩阵理论中的最重要的定理之一。Jordanian块结构简单，具有许多好的性质。矩阵的Jordanian标准型刻化了矩阵的结构，并给出了矩阵的完全的相似不变量。Jordanian标准型定理表明，每个矩阵都可由一些简单的“基本部件”搭建起来。自然地，人们会问下面的问题：问题1在无穷维算子代数中是否存在类似的“Jordanian标准型定理”?问题2Jordanian块的类似物(“即基本部件”)是什么? 　　由于无穷维与有限维有着本质差别，无穷维空间上算子的结构非常复杂。这也使得上面这些问题变得十分困难。可分无穷维Hilbert空间是与有限维空间最接近的无穷维空间。因此，我们只考虑可分无穷维Hilbert空间上有界线性算子。 　　矩阵的Jordanian标准型，其思想就是将每个数学对象(矩阵)分解成一些最简单、最基本的部分，每个对象(矩阵)都可由这些基本部分“搭建”起来。在无穷维算子代数中“寻求最基本的对象”，这个问题以前虽然没有明确提出，但许多基本概念和重要工作都与之有关。例如不可约算子(Irreducibleoperator)、单胞算子(Unicellularoperator)、加权移位算子(weightedshiftoperator)、拟三角算子(quasitriangularoperator)、D.Voiculescu的著名的非交换的Weyl-vonNeumann定理、Brown-Douglas-Fillmore的刻化本性正规算子本性酉不变量的BDF定理、D.A.Herrero等人的相似轨道定理(similarityorbittheorem)等等。这说明，“在无穷维空间上的算子代数中寻求Jordanian标准型定理”是有意义的，这个问题是一个基本问题。定义3[1]设T∈B(H)。如果存在两个T的非平凡不变子空间M和N使得M+N=H，则称T为Banach可约的。如果T不是Banach可约的，则称T为Banach不可约的(或完全不可约的)。 　　人们可以证明，T是Banach不可约算子的充要条件是T不与任何可约算子相似，即T是强不可约算子[2]。如果T是强不可约的，则简记为T∈(SI)。1979年，江泽坚[1]明确提出将强不可约算子作为Jordanian块的替代物来研究。江泽坚给出这样一个算子，它是不可约的，但它相似于一个紧自伴算子。因而它相似于可约算子。这说明“不可约性”不是相似下不变的。而Jordanian标准蛩是相似下不变的。算子的“强不可约性”是相似下不变的，而且有限维空间上算子是强不可约的当且仅当它相似于一个Jordanian块。因此，江泽坚猜想，强不可约算子是Jordanian块的比较合适的替代物。同时，他还对吉林大学泛函分析讨论班提出了一系列具体问题。吉林大学泛函分析讨论班经过近二十年的努力，做出了大量工作，证明了江泽坚的猜想(参见[3]-[10])。 　　一个正规算子，如果没有特征值，它不可能相似于若干强不可约算子的正交直和。所以不可能在B(H)中建立一个严格的Jordanian标准型定理。江泽坚猜想，用强不可约算子作为Jordanian块的替代物，可以建立一个近似的Jordanian标准型定理。在强不可约算子的研究过程中，蒋春澜做了许多重要工作。他独立地或与他人合作，证明了单胞算子和加权移位算子作为Jordanian块的替代物是不合适的(参见[3],[6],[9],[10])。他还与D.A.Herrero合作得到了如下定理：定理HJ[6]对()T∈B(H)及ε＞0，存在A满足：(1)‖T-A‖＜ε，(2)A可以写成m个强不可约算子的拓扑直和(即，A相似于m个强不可约算子的拓扑直和)。而且，如果T的谱σ(T)有n个(n是自然数)连通分支，则可取m=n。特别地，如果σ(T)是连通的，则A可为强不可约算子。 　　定理HJ可以看成近似的Jordanian标准型定理。这个定理表明，用强不可约算子作为Jordanian块的替代物是比较合适的。定理HJ中关于σ(T)连通时的结论也可以看成Riesz分解定理的近似逆。 　　在该报告中，我们将沿着两个方向发展“标准型理论”。思路之一是继续采用“逼近”的观点。我们的创新之处在于，适当的调整分类标准，而不是采用经典的相似、酉等价或本性酉等价等标准。这样做必须保证调整后的分类是有意义的，而且分类适当，能够建立起一套整齐的“标准型理论”。思路之二就是在一些非平凡的、典型的子代数中建立起一套与矩阵理论的结果完全一致的完善的“标准型理论”。而这是以前被人们所忽略的。 　　设T∈B(H)，称(U)(T)(){U*TU：U∈B(H)是酉算子}为T的酉轨道；称(S)(T)(){X-1TX：X∈B(H)是可逆算子}为T的相似轨道；称(U+K)(T)(){R-1TR：R∈B(H)是可逆的，且可写成酉算子与紧算子的和}为T的(U+K)轨道[11]。如果A∈(U+K)(T)，则称A与T(U+K)等价，记为A≌u+kT。(U+K)等价是介于相似与酉等价之间的一种等价关系。对本性正规算子考虑(U+K)等价是合适的。Herrero希望人们能够刻化每个算子的(U+K)轨道闭包。相似轨道定理刻化了每个算子的相似轨道闭包，因而刻化了每个算子的近似相似不变量。但这个定理用到了太多的符号和术语，过于复杂。BDF定理刻化了本性正规算子的本性酉不变量，而且简洁整齐。但是，由于它刻化的是模紧酉等价，所以对有限维空间上算子它便失去了意义。我们要寻求一种新的分类，使得刻化这种等价的不变量能够避免上述两个著名定理的不如意之处。我们先从本性正规算子开始。定义4设A与B是B(H)中的本性正规算子。称A与B拟近似(U+K)等价，记为A≌qa-(u+k)B，如果 　　(4.1)对任意的ε＞0，存在紧算子K1，K2，‖Kj‖＜ε，j=1，2，使得A+K1≌u+kB+K2； 　　(4.2)σ0(A)=σ0(B)且dimH(λ；A)=dimH(λ；B)，()λ∈σ0(A)。这里σ0(A)与σ0(B)分别为A与B的有限重孤立特征值的集合，H(λ；A)和H(λ；B)分别为A与B在λ处的Riesz谱空间。 　　为方便起见，我们用∧1(T)表示由T的谱图形、σ0(T)和dimH(λ；T)，()λ∈σ0(T)构成的族。 　　设Ω是复平面中有界连通开集，且Ω=int(-Ω)。令L2a(Ω)为Ω上平方可积的解析函数构成的Hilbert空间。对f∈L2a(Ω)，定义(B(Ω)f)z)=zf(z)，()z∈Ω。那么B(Ω)是L2a(Ω)上一个本性正规的有界线性算子。而且它还是强不可约的。设i1，i2是整数或±∞。令∧为满足-i1＜i＜i2的所有整数i构成的集合。设{Ωi}i∈∧是复平面中一些两两不交的连通开集，满足Ωi=int(-Ω)且∪i∈Ωi有界。对每个i∈∧，给定一个自然数n.。令Bi={n1⊕j=1B(Ω*)*ifi≥0, 　　ni⊕j=1B(Ωi)ifi＜0.那么Bi是本性正规算子。构造算子T如下：(5)T=(⊕i∈ABi)⊕N⊕(⊕0≤j＜l(λj+S/j!))⊕(⊕0≤k＜m(μk+Jk/k!))0≤l，m≤+∞，N是一个一致无穷重的对角正规算子，σ(N)是完备的；S是紧的内射的后向单边加权移位算子；Jk是mk阶Jordanian块，其对角线为0；λj，μk是复数。那么T是一个本性正规算子。我们还要求{λj：0≤j＜l}恰好是T的本性谱的孤立点集，{μk：0≤k＜m}=σ0(T)。 　　我们通过刻化如上T的(U+K)轨道闭包，可以得到下面定理：定理6A≌qa-(u+k)B当且仅当∧1(A)=∧1(B)。 　　这个定理说明了≌qa-(u+k)是一个等价关系，同时也刻化这个等价下的不变量。此外，它还说明形如(5)的算子T是这种等价分类下的标准型。这种等价关系略粗于相似，比本性酉等价精细。当H是有限维空间时。它恰好是“具有相同的特征多项式”。因此，这是一个有意义的、适当的等价关系。 　　我们试图将上面的思想推广到一般算子上去。于是我们给出如下定义：定义7设A，B∈B(H)。称A与B强近似相似，记为A～sasB，如果 　　(7.1)对任意ε＞0，存在紧算子K1，K2，‖Kj‖＜ε，j=1，2，使得A+K1相似于B+K2； 　　(7.2)σ0(A)=σ0(B)且dimH(λ；A)=dimH(λ；B)，()λ∈σ0(A). 　　当H为有限维空间时，A与B强近似相似当且仅当A与B有相同的特征多项式。我们对一些特殊类算子A和B，证明了A与B强近似相似的充要条件是A与B本性相似，即A相似于B的一个紧扰动。因此，对这样的算子，它是一个等价关系。