近三十年来,微分方程的保结构积分(也称为几何积分)受到越来越多的关注。在对微分方程进行数值积分时,极为重要的是尽可能地保持其精确解的定性行为。我们选择了三类各具特别结构但又相互联系的微分方程作为研究对象,它们是:微分-代数方程、二阶振荡微分方程以及Hamilton系统。这些问题在诸如电同路、优化控制、约束力学、天文学、分子动力学、电子学、声学等应用科学领域经常出现。我们的工作重点落在对这些方程组的保结构算法上。　　 众所周知,常微分方程组(ODEs)在模拟自然科学与工程中的时变过程方面起着十分重要的作用。对许多微分方程组,人们往往并不需要得到其解析解,或者说,从工程的角度看,解析解即使能得到也没有用处。这时对问题的数值求解就变得很重要了。现在已经有了很多非常漂亮的现成的算法,这些算法大都基于Runge-Kutta型方法(RK)、Runge-Kutta-Nystr(o)m型方法(RKN),或者基于线性多步法。然而,现有的绝大多数方法都是通用方法,它们没有考虑到所研究微分方程组的特殊结构。于是将这些方法应用于某些重要而特殊的问题时,如应用于微分-代数方程组、二阶振荡微分方程组和Hamilton系统时,其数值结果往往难以令人满意。最终,来自应用领域的需求促使数学家开发出能够保持问题特征性质的数值方法。正如Lambert所宣称的那样,“只要是有结构的地方,我们就应该能够把这种结构用到数值方法之中。”到目前为止,人们已经开发出了若干提高常微分方程组积分方法的效果和效率的手段。　　 对微分-代数方程组,特别是对带代数约束的常微分方程组,除了经典的Runge-Kutta类方法外,将微分-代数方程组看着流形上的微分方程组,人们建立了投影方法(projection methods)以及基于局部坐标的方法(methods based on local coordinates)(见文献[40]及[41]的第四章)。　　 对于解具有振荡特征的常微分方程组,J.M.Franco提出的ARKN方法(Runge-Kutta-Nystr(o)m methods adapted to the numerical integration of perturbed oscillators)是一类典型的保结构方法的例子(见文献[32,26,29,33,31])。这些方法是为受扰动振子方程(perturbed oscillators)y"+ω2y=f(t,y)而量身定做的.其特征性质是能够精确积分无扰动的问题y"+ω2y=0。另一个重要的例子是指数拟合技术(exponential fitting,简记为EF)。像ARKN方法一样,在解的土频率已知或能够事先精确估计指数拟合的情况下,Runge-Kutta(Runge-Kutta-Nystr(o)m)方法便获得其用武之地。同样类似于ARKN方法,指数拟合方法的部分或全部系数依赖与土频率与步长的乘积。当土频率趋向于零时,无论是ARKN型方法还是指数拟合方法都趋向于它们的经典原型方法。指数拟合方法的系统阐述见于Ixaru和VandenBerghe的文献[47]。　　 很多微分方程组具有不变量。如保守力学系统的能量是不变量;又如对数学生态学中著名的Lotka-Volterra方程组u=u(a11-a12v),v=v(-a21+a22u),函数I(u,v)=a21 lnu+a11 ln-a22u-a12v是一个不变量;而Hamiltonian系统有两个基本不变量:Hamiltonian函数和微分2形式。在这种情况下,考虑保持不变量的算法是一个基本方向。特别地,冯康,Ruth等开辟了Hamilton系统的辛算法的研究,他们及其后来者的工作成绩斐然。Hamiltonian系统的保结构算法有:辛RK方法,辛PRK方法(partitioned Runge-Kutta),辛RKN方法等,见文献[40,41,70,70,18]等。　　 基于以上认识,本文的内容如下:　　 第1章概述了后面各章要用到的关于微分-代数方程组、二阶振荡微分方程组以及Hamilton系统的最基本的理论知识与数值方法。　　 第2章给出了一组关于隐式微分方程组(微分-代数方程组)解的存在唯一性的结果。在这一章,我们将要求函数的Fréchet导数为满射的经典的隐函数定理推广到Lipscllitz和单调性的条件。再由新的隐函数定理得到两组关于非光滑的隐式微分方程组初值问题解的存在唯一性的充分条件。　　 第3章给出了一个应用微分变换法(the diffrential transform method(DTM))求解高指数线性微分代数.微分方程组的一般程式。我们利用特殊标号树的理论证明了关于复合函数高阶导数的Faàdi Bruno公式。接着我们还把微分变换法用于非线性微分代数-微分方程组,并对约束系统建立了基于局部参数化的微分变换法(loca-parametrization-based DTM)。数值例子验证了微分变换法的强健性。　　 第4章将Fanco的求解一维受扰动振子的ARKN方法推广到方程组情形。对一维受扰动振子方程,Franco[32]提出了ARKN方法(Runge-Kutta-Nystr(o)m methods adapted toperturbed oscillators),并利用Nystr(o)m树理论导出了ARKN方法阶的一组充分条件及充分必要条件。这些方法能够精确积分未受扰动的谐振子方程,而对受小扰动的振子方程积分效率很高。在[32]的基础上,Franco[31]将ARKN方法直接扩展到扰动函数f不依赖于一阶导数y的高维情形。然而不幸的是,Franco[32]给出的阶条件及其推导过程中出现了严重的错误。在这一章中,我们建立了针对高维受扰动振子方程的ARKN方法,并给出了阶条件,从而彻底纠正了Franco的错误。我们的高维ARKN方法适用于扰动函数f仅依赖于未知函数y,或者既依赖于y又依赖于其导数y的一般情形。　　 第5章提出了一族新的求解一般受扰动振子方程的改进的Runge-Kutta-Nystr(o)m方法(improved Runge-Kutta-Nystr(o)m methods for general perturbed oscillators,简记为IRKNG)。用这些方法求解无扰动问题时,内级与更新公式都是精确的;用它们求解受扰动振子时可望有很好的行为。这些新方法的土要特性是将方程中-ω2y项带来的特殊结构融入内级与更新公式(而ARKN方法仅在更新公式中利用了这种结构),方法的参数依赖于主频率与步长的乘积。由于经典的Nystr(o)m树无法用来表示新方法的阶条件,本章构建了一种新型的树的理论。我们构造了几个具体的方法,并讨论了它们的稳定性与相性质。数值实验显示了新方法强健性与竞争力。　　 第6章考虑对称辛指数拟合修正RKN方法的构造。基于对称性条件、辛性条件与指数拟合条件,我们得到了一组新的具有FSAL性质的显式修正RKN积分方法(modified RKNintegrators)。这些新方法能够精确积分解为集合{exp(λt),exp(-λt)},λ∈(C),或等价地{sin(ωt),cos(ωt)}(λ=iω,ω∈(R))中函数的线性组合的微分方程组。我们考察了新积分法的相性质和周期性区域。随后的数值实验表明,与文献中的几个高效方法相比,新方法的计算效率更高,更具竞争力。　　 最后,在第7章,定义了求解方程y"+ω2y=f(t,y,y)的新的混合配置法(mixedcollocation methods),并对一类特殊类型的混合配置法建立了与第5章中提出具有某些特性的隐式IRKNG方法的等价性定理,推导了具有Gauss节点的两点混合配置法。　　 概括起来说,本文有如下几个贡献:　　 1.建立了两个非光滑的隐函数定理,并利用它们得到了两组非光滑的隐式微分方程组(微分代数-微分方程组)初值问题解的存在唯一性的充分条件。　　 2.建立了求解高指数微分代数-微分方程组的微分变换法(DTM)。除了完全解决了应用微分变换法(DTM)求解高指数线性微分代数-微分方程组的可能性问题,还将微分变换法用于非线性微分代数-微分方程组,并对约束系统建立了基于局部参数化的微分变换法(localparametrization-based DTM)。　　 3.建立了求解一般受扰动振子方程组的ARKN方法,彻底纠正了Franco工作的错误。　　 4.提出了一族新的求解一般受扰动振子方程y"+ωay=f(t,y,y)的改进Runge-Kutta-Nystr(o)m方法(improved Runge-Kutta-Nystr(o)m methods,简记为IRKNG),构建了一种新型的树理论,并用于导出新方法的阶条件(Nystr(o)m树无法用来表示新方法的阶条件)。新方法内级与更新公式都充分地利用了方程的特殊结构(而ARKN方法仅在更新公式中利用了这种结构),从而用新方法求解谐振子方程时,内级与更新公式部是精确的。　　 5.探讨了求解作为Hamilton系统的二阶振荡微分方程的修正RKN积分方法(modifledRKN integrators)的对称性条件、辛性条件与指数拟合条件,并得到了一组新的具有FSAL性质的对称辛指数拟合显式修正RKN积分方法。　　 6.针对形如y"+ω2y=f(t,y,y)的振荡问题提出了一组新的混合配置法。　　 毋庸赘言,本文的工作远远称不上完善,很多方面都有较大的进一步工作的空间。