延迟微分方程广泛应用于生态学，环境科学，经济学，电力工程及自动控制等领域,开展其算法理论研究具有重要科学意义和实际应用价值.近几十年来，这方面的研究已引起众多学者的关注.本文主要研究变延迟微分方程和中立型延迟微分方程初值问题线性多步法的非线性稳定性和散逸性. 在对延迟微分方程的研究综述中，我们介绍了延迟微分方程实际应用的几个例子，并回顾了近四十年来延迟微分方程理论解和数值解的稳定性研究和发展历程，包括标量线性模型方程，非线性的常延迟微分方程，变延迟微分方程，中立型延迟微分方程等，除此之外，我们介绍了理论解和数值解的散逸性结果.在此基础上，提出了我们的主要研究方向. 在考虑变延迟微分方程的非线性稳定性时，应用的数值方法是特殊的线性多步法，即线性方法. 在延迟量满足Lipschitz条件且最小Lipschitz常数小于1的情况下, 对线性方法的稳定性进行了分析, 给出了当 [1/2,1]时该方法的非线性稳定性及渐近稳定性结果.对于变延迟微分方程散逸性问题，主要是针对有界延迟而言的,得到了一类线性多步法关于此类问题的数值散逸性结论. 在对非线性中立型延迟微分方程的散逸性研究中，我们首先探讨了该类延迟微分方程系统本身的散逸性. 然后，应用一类线性多步法于该类问题，进一步得到了数值方法的散逸稳定性结果. 最后，我们对变延迟微分方程线性方法的非线性稳定性和中立型延迟微分方程的散逸性两方面进行了数值试验，试验结果验证了所获理论结果的正确性.