图谱理论是图论中的一个新兴领域,也是代数图论中的一个重要课题.它起源于理论化学家和物理学家为寻求一类偏微分方程的近似解而建立起的一套离散的方法.1957年,L.Collatz和U.Sinogowitz的深刻论文的发表被视为图谱理论诞生的标志.在近几十年中,图的邻接谱和Laplace谱得到了广泛的研究.其研究的主要途径是通过图的矩阵表示,利用矩阵理论,以及结合图论中的经典结果,以推动图论的理论研究.这些研究成果不仅丰富和发展了代数图论,而且在理论物理和理论化学中有着广泛的应用(参考[3]).　　 在这篇论文中,我们的主要工作是进一步刻画满足一定条件的二部图以及研究直径分别为n-1,n-2或n-3的n阶树的补图的奇异性.整篇论文共分为三章.　　 在第一章中,我们将介绍一些基本的概念,陈述相关的研究背景,并列举了这个领域中的一些代表性结论.　　 在第二章中,我们在他人的基础上进一步研究了有关极值图论的问题,即在给定的一个图类中,刻画具有最大零度的图.其中具有n个顶点和给定直径的二部图是我们最感兴趣的,并且我们也得到了这类极图的完全刻画.　　 在第三章中,使用图谱理论的方法研究树的补图的奇异性,得到了直径分别为n-1,n-2和n-3的n阶连通树的补图的奇异性一般判断方法,这些结果推广了直径小于5的树的非奇异补的相关结果.