图像的去噪和增强是数字图像处理领域一个重要的分支,它包括两部分的内容：一是平滑图像中的噪声,二是增强图像中的边缘。偏微分方程的图像处理经历了线性扩散、非线性扩散、再到各向异性非线性扩散方程的发展过程,近年来,还出现了高阶扩散方程和复扩散方程的处理方法。本文首先进行了图像去噪的偏微分方程研究。介绍了偏微分方程图像处理的基础,接着对典型的图像去噪偏微分方程模型进行了讨论与研究,选取其中最为经典的P-M扩散模型,它具有很好的去噪能力,因为其具有非线性的扩散特点。针对P-M扩散存在的不足使用了改进的P-M扩散模型,进行了扩散系数的修改,去噪的同时能更好的保持图像边缘。但是实数域上的P-M扩散方程由于梯度作为边缘检测算子会产生“阶梯效应”,因此将其扩展到复数域内,采用图像虚部作为边缘检测算子,解决了该问题。对各向异性非线性扩散模型中的相干增强扩散进行了研究,相干增强扩散能够增强图像的边缘,使一些断裂的线状结构得到修复,但是由于噪声的影响,在图像的平滑区域会产生很多虚假条纹。本文针对P-M扩散和相干增强扩散各自的特点将两者结合,利用Canny边缘检测算子将图像进行边缘与非边缘区域的分割,然后在边缘区域用相干增强扩散进行处理,非边缘区域用P-M扩散进行处理,根据这个原理本文提出了加权混合扩散和基于图像分割融合技术的混合扩散两种模型对图像进行处理。本文还对偏微分方程的图像增强进行了研究。反向扩散具有增强图像边缘的作用,但是随着迭代的进行会产生振荡,使图像信息丢失,因此将前向后向扩散结合对图像进行处理,去噪的同时还能增强边缘,并且还抑制了振荡的发生。接着将实数域上前向后向扩散扩展到复数域上,避免了平坦区域的“阶梯效应”。为了增加方程的去噪能力,将P-M扩散与前向后向扩散相结合,锐化边缘的同时能更加充分的滤除平坦区域噪声。