振动问题和波动问题是动力学研究领域的两大方面。由于结构形式和介质的复杂性，对于这两个方面的问题所从事的解析研究取得的进展不是很迅速，大部分问题还是要依靠数值方法来解决。合理、有效、计算精度高、耗时少，且易于编制通用程序的数值计算方法的研究一直是动力学研究领域的热点。 本文基于弹性动力学问题中位移型Gurtin变分原理的思想，利用拉普拉斯变换，将具有初值—边值的动力学问题变换成拉普拉斯空间上等价的边值问题；并类似于原真实空间中解决边值问题的最小势能原理，在拉普拉斯空间构造了等价边值问题的泛函。然后，将此拉普拉斯空间上的泛函恢复到原真实空间；给出了适合于构造时间有限元方法的只含单重卷积的简单泛函表达式。这种表达形式的简单泛函为时间有限元的构造创建了一个“平台”，由此可开展时间有限元方法的一系列研究工作。 本文针对由Gurtin变分原理建立的时间有限元方法容易产生数值计算不稳定这一问题，提出了非时间步参数的概念。在对时间域进行离散时，针对时间域离散所选取的各种插值函数形式并采用一个或几个非时间步参数来配合，能够有效地控制数值计算的稳定性，从而解决了基于Gurtin变分原理构造出的时间有限元方法的稳定性不易实现这一问题。这种思想方法非常适用于结构动力分析问题中的各种无条件稳定计算格式的构造。 本文利用给出的简单泛函表达式，并结合在时间域离散时加入非时间步参数的思想，对一些时间域插值函数形式的时间有限元方法进行了研究。给出了一些解决初值—边值混合动力学问题的时间有限元的方法。获得了一些有意义的结果。 本文提出了一种对弹性波传播进行数值模拟的新的全离散方法—格子法。在半无限介质中，该方法可以精细模拟任意复杂形状的自由表面和任意复杂的内部介质界面，灵活地处理自由表面问题，自由表面条件自然引入，同时又不需要特殊处理自由表面稳定性条件。该方法解决了其它差分方法在弹性波传播数值模拟中较难处理的任意复杂形状的自由表面和内部介质界面问题。在空间离散方面与有限元法类似，可以按照连续介质的形状及内部分界面任意剖分网格，具有网格剖分的灵活性，这是一般规则网格差分方法不可比拟的，但是格子法的计算量比有限元方法的计算量要少。格子法是一种显式计算方法，对计算机内存需求的少，计算效率高，能够对更大范围的介质区域中的弹性波传播进行数值模拟，这些方面比弹性波传播的有限元法要有优势。格子法是将节点的运动微分方程进行积分处理，给出了被研究节点的运动方程的积分形式，该方法不同于一般的用于弹性波传播数值模拟的有限差分法，一般的有限差分方法是基于节点的动力学的运动微分方程。 在格子法思想的基础上，本文对三角形格子法进行了详尽的研究。对其计 os一算方法、稳定性和数值计算的频散特性做了全面的研究，同时给出了数值算例，结果表明这一方法程序实现简单，计算精度高、耗时少，所需计算机内存较少，且具有频散小，稳定性好，可适用于高泊松比材料的特点。该方法的计算耗时和对计算机内存的需求与二阶规则网格交错差分法相当，但三角形格子法能精细刻划和灵活处理自由表面和内部介质界面问题。通过对自由表面问题的具体研究，得知格子法的自由表面边界多J牛是自然引入的，并且自由表面稳定性条件是自动满足的，无须另外处理，这是格子法的一个显著特点一即可精细模拟任意复杂形状的自由表面问题，又不需要特殊处理自由表面稳定性条件。 三角形格子法适用于高泊松比介质，但不太适用于液体介质，为了克服这一不足，同时为了进一步研究计算效率高于原三角形格子法的方法，本文提出了一种三角形和四边形的混合格子法。本文主耍是针对横观各向同性介质中弹性波传播数值模拟进行了研究。在该方法中，对四边形格子内的应力作了均匀性假定，只需要由四边形格子中心处场变量的空间导数计算每个格子中心处的应力，在本构关系中并不含对空间变量的导数，因此，该方法适用于任意各向异性介质模型惰况。这种混合格子法为复杂各向异性介质中弹性被传括数值模拟提供了一种有力的工具。混合格子法中的四边形格子适用于模拟液体介质中的弹性波传播，因此，混合格子法可用于模拟固－液混合体中的弹性波传播问题；同时四边形格子的选用使得混合格子法能进一步减少计算耗时和对计算机内存的需求。混合格子法同样可以精细刻划和灵活地处理自由表面问题，并且自然满足复杂几何边界的自由表面稳定性条件。 本文最后基于格子法的思想，将格子法的研究工作推广到研究具有任意自由表面形状的三维非均匀介质空间模型。文中给出了空间四面体和空间平行六面体格子法以及由这两种格子法组合成的三维混合格子法，对空间四面体格子法和空间平行六面体格子法的计算方法、稳定性条件以及相速度频散都做了详尽的研究。采用三维混合格子?