复分析主要是研究复函数，是研究亚纯函数和全纯函数的一个重要的数学理论。　　本文所研究的函数都是定义在二维的复平面上，他们的值均为复数，并且这些函数是可微的。对这些函数的研究主要用到的研究理论，公式以及方法是柯西积分定理、柯西积分公式、留数定理、洛朗级数展开等。在生产实践中复分析的应用也是比较广泛的，尤其是在其它数学分支和物理学中有着重要的应用价值。在数学分支数论、应用数学、流体力学、热力学和电动力学中复分析也有广泛的应用。所研究的复函数在可微性方面比实函数具有更强的性质。例如，对于一个正则函数在其定义域中的每个开圆盘都是可以用幂级数来表示的。特别指出的是全纯函数都是可以无限次可微的，而这个性质对于实的可微函数一般情况下是不成立的。对于大部分的初等函数，例如多项式、指数函数、三角函数等都是全纯函数。全纯函数的性质是比较好的，例如它是定义在复平面C的开子集上的，在复平面C中取值的，在每点上都是可微的函数，这个性质可以使得它满足一些实值函数所不能满足的性质。在复分析中柯西积分定理给出当全纯函数在闭合的积分路径内不含有奇点时，那么这个函数的在沿这条路径的积分值为0；当然如果这条路径包含有奇点，则沿着外部这条闭合路径的积分值就等于沿着包围这个奇点的内环上闭合路径的正向积分值。在复分析研究中引入亚纯函数的概念，即在复平面的开子集D上如果一个函数除去一个或者若干个孤立点之外的区域是全纯的，那么这个函数就称为该区域上的亚纯函数，这里的孤立点称为这个亚纯函数的极点。对于复变函数的洛朗级数，它也是幂级数的一种，这个级数的特点是它不仅包含了正次数的项，同时也包含了负次数的项。　　通过对洛朗级数的研究会发现有些函数无法表示为泰勒级数，但是可以表示为洛朗级数。在复分析的研究中，留数也是一个重要的内容，留数就是一个复数，它是描述亚纯函数在奇点周围的路径积分的状况，是柯西积分定理和柯西积分公式在应用中的一个推广。