带有弱奇异核的Volterra积分和积分微分方程是在生物、物理、金融等科学与工程领域中起着重要作用的数学模型。由于这类方程的解析解难以得到,所以对其数值方法的研究受到众多学者的持续关注。该类方程的一个重要特征是其积分算子中包含一个具有弱奇异性的核函数,这使得方程的解通常只具有较低的正则性。该性质对其数值方法的构造和分析带来特殊困难。本文主要研究几类带弱奇异核的Volterra积分和积分微分方程的高阶数值方法,并对其收敛性进行分析。主要工作分为以下几个方面:（1）对带弱奇异核的第二类Volterra积分方程提出分片分数次多项式配置格式。文中采用分级网格对区间进行划分,在每个小区间上使用分数次多项式构造配置格式。在不需要解具有高正则性的假设下给出方法的hp型误差估计。对某些具有弱奇异解的问题,该结果可同时保证关于分数多项式次数的指数收敛性和关于网格参数（平均步长）的最优阶收敛性。（2）研究带弱奇异核的第二类非线性Volterra积分微分方程的分数次多项式配置格式,并在任意网格划分情形给出方法的hp型误差估计。所获结果表明,对一些具有弱奇异解的问题,在任意网格下方法的p型收敛可以达到指数收敛速度,在一致网格下h型收敛也不存在多项式配置方法中的阶障碍现象,在合适的分级网格下方法的h型收敛阶可达到最优收敛阶。（3）研究第三类Volterra积分方程数值方法。本文提出一种修正的分级网格划分方法,基于该网格构造分数次多项式配置格式。针对方程积分算子不具有紧性的情形,证明了配置格式的可解性。数值测试表明,对某些具有弱奇异解的问题,方法的h型收敛阶高于文献中已有方法的收敛阶,p型收敛在适当选择参数时可达到指数收敛速度。（4）研究第三类Volterra积分微分方程的分数次多项式配置方法。针对解具有弱奇性的该类方程,证明了数值格式的可解性及任意网格下格式的hp型收敛性。理论结果和数值实验表明,对这类具有非紧积分算子的方程,在解具有初始处弱奇异性时,方法仍然可以达到高阶收敛。总之,本文研究几类弱奇异Volterra积分和积分微分方程,利用分数次多项式构造配置格式,并对其给出hp型误差估计。结果表明,在真解具有分数次幂形式的弱奇性时,所构造的格式可以具有高阶收敛性。