分形是非线性科学研究领域中一个非常活跃的分支,本质是一种新的世界观和方法论,同时揭示了有序与无序的统一,确定性与随机性的统一。它得以迅猛发展,并且成为了一种有效的数学工具和方法,在生物学、地球科学、医学、数学、哲学、石油开采、化工生产、艺术学等领域实现了广泛的应用并获得了巨大价值。复系统所产生的M-J集是最经典的两类分形集,一直是分形领域学者们研究的热点,并取得了相当丰富的成果。自然界广泛存在着各种各样的噪声扰动,对事物的运动和状态产生了各种不同的影响。作为一种随机变量,噪声影响一个动力系统的演化通常有两种方式,一种是在系统外部添加随机变量,称之为加性动态噪声;另一种是在系统内部直接作用到动力学方程系数上的随机扰动,称之为乘性动态噪声。随机数按照产生的方式可以分为两类:用物理方法产生的真随机数和用数学算法产生的伪随机数,人们建立了诸如高斯噪声、正弦噪声、时滞系统等数学模型来模拟研究噪声对于动力系统演化的干扰特征。本文主要对M-J集在受控状态下添加噪声扰动进行了研究,分析其拓扑结构的改变。本论文具体工作如下:(1)对受控状态下噪声扰动的Mandelbrot集与Julia集的拓扑结构进行分形分析。为了对Mandelbrot集与Julia集形态的改变进行分析和观察,本文将偏差距离与偏差图这两个工具引入受控的Mandelbrot集与Julia集,在加性动态噪声和乘性动态噪声两种由伪随机数模拟而成的噪声扰动下分别进行系统仿真。通过偏差距离与偏差图,可以看出相比于原始状态,在受控状态下,Mandelbrot集与Julia集的形变更小,稳定性显著提高。并且对Mandelbrot集与Julia集形变的大小进行了量化,对Mandelbrot集与Julia集形变的位置有了清晰地定位。另外,加性动态噪声与乘性动态噪声对Mandelbrot集与Julia集形态的破坏强度不同,通过仿真,可以看出乘性动态噪声的破坏性更大一些。(2)随着噪声强度的改变,偏差距离将发生改变,且二者呈现正相关的关系,因此本文以Julia偏差距离作为噪声强度α的函数,得到了受控状态下加性动态噪声和乘性动态噪声Julia偏差距离函数,侧面同样说明了乘性动态噪声的破坏性更大,且在某个临界值以后,Julia偏差距离保持恒定不变,得到了临界噪声强度值。另外,在计算Julia偏差距离与作Julia偏差图时,空间晶格的划分是固定的n×n矩阵。因此通过比较不同的晶格矩阵划分,可以得出:临界噪声强度值与晶格点的数量无关,Julia集内部的点数与计算出Julia集的晶格的点数之比与晶格的点数无关。