Hosoya指标是由日本化学家Hosoya于1971年提出并进行研究的,它表示图G的包含空集在内的所有匹配的数目之和,记为Z(G).Hosoya指标与物质的沸点、熵、化学键的计算和化学结构等有着密切的联系.　　自从Hosoya指标被引进以来,已经有丰富的研究结果.Gutman证明了线性六角链是所有六角链中唯一具有最小Hosoya指标的链;Zhang和Tian找到了所有六角链中具有第二小Hosoya指标的极图;另外有很多学者研究了双六角链以及六角蜘蛛链的特征.Li得到了在渺位系统中具有最小和第二小Hosoya指标的极图.对于顶点数为n的树,Dankelmann确定了n个顶点的路是具有最大Hosoya指标的树,而n个顶点的星是具有最小Hosoya指标的树;Gutman求出了具有最大、第二大、第三大和第四大Hosoya指标的极图.对于给定匹配的树,Hou分别得到了最小和第二小Hosoya指标的极图.对于顶点数为n的树,Li和Zhou分别得到了第三大、第五大、第六大和第七大的Hosoya指标的极图.对于单圈图,Li已经找到了具有第一至第九小Hosoya指标的极图.对于给定匹配的单圈图,Yu和Tian刻画了具有最小及第二小Hosoya指标的极图;Ye刻画了具有第三小至第六小Hosoya指标的单圈图.对于双圈图,Deng得到了具有最小Hosoya指标的双圈图.对于给定匹配的双圈图,Yu和Tian刻画了具有最小Hosoya指标的极图.对于三圈图,Li和Zhu研究了最小Hosoya指标并得出极值及其相应的极图.　　论文在已有结果基础上,首先刻画了给定匹配的双圈图的第二小和第三小Hosoya指标,并由此得出了给定匹配的点粘接双圈图的第二小和第三小Hosoya指标,最后刻画了给定匹配的圈共点图的第二小和第三小Hosoya指标.