数的研究从很早就开始了.从刚开始接触的十进制展式到二进制展式再推广到b进展示.直到1957年,A.R′enyi引入了数的β展式,这被认为是数的b进制展式的推广.随后W.Parry系统地研究了β展式,如可允许序列的刻画,不变测度等.本文是以β展式的基本性质为基础,研究了对任意x∈[0,1),若令In(x)表示数字序列长度为n的柱集,并令|In(x)|表示它的长度.对β展式研究,我们可以准确估计出|In(x)|的长度并可得出β展式的一些性质。　　本文的绪论部分主要介绍β展式的研究背景,系统地回顾前人所做的工作,并指出本文想得到的结果。　　在第二章中,我们引述自允许序列和可允许序列的定义,并介绍相关的性质和相关结论。　　第三章,考虑β变换的不变测度.即可以找到唯一不变的概率测度等价于Lebesgue测度。　　第四章是文章的主要论述部分,详细阐述了柱集,满柱集的定义并给出了满柱集的刻画.随后引出了1的数字序列并且计算出它的柱集范围.由此我们可以发现任何可允许序列的柱集长度与1的数字序列存在某种相关性并且可以用式子具体表示出来。