华林-哥德巴赫问题作为堆垒素数论中的一个重要问题,一直以来都备受关注。其研究能否把满足一定同余条件的自然数n表示成若干个素数方幂之和的可能性,即方程n=p1+p2+…+ps的可解性,其中s依赖于k.当k=1,s = 3时,即奇数的哥德巴赫猜想,又称为三素数定理,Vinogradov[1]已经于1937年用解析的方法给出了证明,即任意一个足够大的奇数都可以表示为三个素数之和。而k = 1,s = 2时,即偶数的哥德巴赫猜想,至今仍无法被证明。我们一般对素数方幂较低的连续幂华林-哥德巴赫问题更感兴趣,因为这往往能取得相对更理想的结果。例如:对于= 3,Hua[2]在1938年证明了,任意充分大的奇数n,可以被9个素数的立方和全表,以及不超过N且满足一定的同余条件的n,能被s个(5 ≤ s ≤ 8)素数的立方所表示的例外集E(N)<<N log-A N,其中A为某个正常数。这一结果随后得到了长足改进,与此同时,人们也对混合幂华林-哥德巴赫问题产生了浓厚的兴趣。例如:将正整数n表示为一个平方,四个立方,一个b次方和一个c次方,其表法个数为Rb,c(n),Hooley[3]在1981年首先给出了R3,5(n)的渐进公式,而随后Brudern[4]则给出了R3,c(n)的渐进公式。本文的主要工作即利用研究连续幂华林-哥德巴赫问题的方法,解决一个混合幂的华林-哥德巴赫问题。对于一个充分大且满足一定同余条件的正整数n,n∈N且N<n≤2N 除,除O(N1-21-k/k+e)个例外,均可被表示为四个素数的立方与一个素数的k次方的和(k为某个固定的正整数,且k ≥ 3),即定理 1.1。虽然有关于n = p13+p23+p33+p43问题的进展非常有限,但是Ren[5]证明了可表示为四个素数的立方和的正整数具有正密度,这就保证了本文研究的问题,对于某个固定的k(k≥3),方程n=p13+p23+p33+p43+p5k能够得到一个相对理想的例外集。鉴于我们想要得到一个例外集,在应用圆法处理主区间时,需要将主区间尽量扩大,运用Liu[6]提出的增大主区间的处理方法,以及Liu[7]在圆法中建立的迭代的方法处理主区间,充分利用奇异级数估计上取得的节省,最终得到一个有关于主区间的下界。处理余区间时,在本文中使用Zhao[8]的方法,将余区间分割为两部分,充分利用Ren[9]和Zhao[8]中建立的三角和估计,配合均值估计对余区间分别进行估计,以取得一个有关于余区间的上界,即可得到该问题的例外集。