图像去噪、分割及其快速算法在图像处理中具有非常重要的理论意义和广泛的应用背景。本文主要研究基于偏微分方程的图像去噪、分割等问题，提出了一些新的方法和快速有效的算法。针对水平集方法在图像分割中出现的问题，本文提出了一种无需重新初始化的变分水平集方法。该方法在减少计算时间的同时提高了分割的准确性。对四阶LLT去噪模型，我们提出一种基于原始-对偶公式的快速算法，大大减少了计算代价。对乘性噪音中的非凸模型，我们提出一种计算全局极小值的凸松弛方法并得到一种有效的算法。本文的结构如下：　　 本文第一章为绪论。首先介绍加性和乘性图像去噪中的一些基本模型包括总变差模型和Perona-Malik模型等，回顾了一些关于总变差的快速算法，然后介绍了分割中的Momford-Shah和测地轮廓等模型，最后介绍了本文的主要结果。　　 第二章给出了一些预备知识，主要回顾了变分法、梯度下降法、水平集方法和分段常数水平集方法等基础知识。　　 在第三章中，我们提出了一种新的避免重新初始化的水平集方法。界面演化问题一般用水平集方法可以有效地解决，但是需要耗时的重新初始化过程。为了避免重新初始化，我们将变分模型写成一个约束优化问题，然后给出一种增广拉格朗日方法和一种投影拉格朗日方法解带约束的模型并提出两种梯度型算法。对增广拉格朗日方法，我们利用Uzawa格式更新拉格朗日乘子。对投影拉格朗方法，我们用变量分离方法得到拉格朗日乘子的显式表达式。我们将这两种算法运用到Chan-Vese模型中，基于半隐加性算子分裂格式得到两种快速有效的交替迭代算法。我们用大量合成和真实图像的实验将我们的方法和两种其他的方法做比较，说明了我们的算法的快速有效性。　　 在第四章中，我们对灰度图像和向量图像提出一种有效的梯度型算法解四阶的LLT去噪模型。基于对原来不可导模型的原始-对偶公式，这种新的算法利用梯度下降或上升法交替迭代原始和对偶变量。在每一次迭代中，原始变量和对偶变量可以利用彼此更新的信息，因此算法的收敛速度比已有算法更快。　　 在第五章中，我们给出一种凸松弛方法计算非凸乘性噪音模型的全局解。这种方法基于泛函提升并增加一维。原来的非凸模型被转化成等价的凸但不可导的模型。在数值实现时，我们利用了原始-对偶梯度型算法来克服总变差项的不可导性。而且，我们可以不依赖于初始猜测值得到原模型的整体解。　　 第六章为本文的总结。在本章中给出了本文的总结并展望将来的工作。　　 作为本文的附录我们考虑了将半隐的加性算子分裂格式和二值水平集方法应用于反源问题的求解。在二值水平集方法的框架下，我们将原模型重新改写成新的约束优化问题，然后用增广拉格朗日方法求解。基于加性算子分裂格式，我们提出了一种有效的梯度型算法。这种算法可以在演化过程中产生新的小洞，可以自动的处理拓扑的变化。即使有一定的噪音，复杂的几何形状也可以恢复。数值例子表明了算法的快速有效性。