众所周知,关于二项指数和的研究一直以来都是解析数论研究的重要课题,旨在研究其上界估计问题.本文利用二项指数和的性质,结合特征理论以及同余理论,研究一类特征和的递推性质、二项指数和的均值以及特征和与二项指数和的混合幂均值问题.作为应用,进一步研究Lucas多项式的幂和问题及其整除性质,以及同余方程解的问题.确切地说,研究的主要内容归纳如下:1.第二章研究了一类特征和Ak（h,χ1,χ2,…,χk;p）及其递推性质.对任意正整数k和h,主要考虑模奇素数p的特征和Ak（h,χ1,χ2,…,χk;p）=（?）χ1（a1）χ2（a2）…χk（ak）的计算问题,其中χi（i=1,2,…,k）表示模p的Dirichlet特征.首先,在p和特征χi（i=1,2,…,k）满足一定条件下,给出Ak（p）=Ak（3,χ2,χ2,…,χ2;p）精确的计算公式.其次,研究了 p三1 mod 6时Ak（p）满足的三阶线性递推公式.最后,结合B.C.Berndt和R.J.Evans的重要工作,当p≡1 mod 6且2是模p的三次剩余时,解决了Ak（p）满足的三阶线性递推公式.在研究过程中运用了 Gauss和的性质、Dirichlet特征的性质以及模p既约剩余系等解析数论的结论.2.第三章研究了一类二项指数和的四次均值.利用同余理论、二项指数和以及三角和的性质,当p为奇素数,分别给出5（?）（p-1）和5|（p-1）时,和式#12精确的计算公式.3.第四章研究了三项特征和与二项指数和的混合均值.运用特征和以及Gauss和理论,当p是满足（3,p-1）=3的奇素数时,给出和式（?）精确的计算公式.4.第五章,研究了 Fibonacci多项式和Lucas多项式的幂和问题及其整除性质.利用数学归纳法以及Fibonacci多项式和Lucas多项式的性质,研究下列和式L1（x）L3（x）…L2n+1（x）（?）F2m+12n+1（x）,L1（x）L3（x）…L2n+1（x）（?）L2m+12n+1（x）,的整除性.在本章中,实际上是对于Melham猜想的进一步研究.5.第六章,作为第二章的应用,利用Ak（p）的计算结果以及特征理论,当p是满足p≡2 mod 3的素数,得到了同余方程x6+y6+z6≡0 mod p在Zp3上解的个数.利用整数分拆的方法,进一步研究解的分类,并得到不同类解数的精确计算公式.