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在二阶椭圆偏微分方程理论中，边值问题解的存在性的研究是最重要的问题之一.迄今为止，二阶椭圆偏微分方程的边值问题主要为Dirichlet问题、Neumann问题及斜导数问题.对于平均曲率方程的边值问题，Serrin[65]等研究了平均曲率方程的Dirichlet问题并已有基本结果，详细可见Gilbarg-Trudinger书[22].平均曲率方程的预定夹角问题被Ural tseva[79]、SimonSpruck[67]、Gerhardt[21]等人所研究，得到了存在性结果.然而，平均曲率方程的Neumann问题至今未被研究. 在Lieberman书[49]第360页指出平均曲率方程Neumann问题的边界梯度估计是拟线性椭圆偏微分方程中一个未解决的问题.在本文中，我们主要综合利用Spruck[68]、Lieberman[47]、Xu-Jia Wang[91]等人的技巧，给出了在解有界前提下平均曲率方程Neumann问题的边界梯度估计，从而得到一类平均曲率方程Neumann问题的解的存在性.同时，我们对平均曲率方程预定夹角问题的边界梯度估计给出一个新证明. 另外，我们还证明了Hessian方程Neumann问题容许解的边界梯度估计.本文的主要结果列举如下. Ⅰ.平均曲率方程Neumann问题的边界梯度估计设Ω(c) Rn是一个有界区域，n≥2，(6)Ω∈C3.令d(x)=dist(x,(6)Ω),Ωμ={x∈Ω∶d(x)＜μ}.考虑如下平均曲率方程的Neumann问题:div(Du/√1+|Du|2)=f(x,u) inΩ,(1)(6)u/(6)γ=ψ(x，u)on(6)Ω，(2)其中Ω(C)Rn是一个有界区域，n≥2，(6)Ω∈C3，γ是(6)Ω的单位内法向.f，ψ均为定义在Ω×R上的给定函数.进一步设存在正常数M0，L1，L2使得|u|≤M0inΩ，(3)fz(x,z)≥0 inΩ×[-M0,M0],(4)|f(x,z)|+|fx(x,z)|≤L1 inΩ×[-M0,M0],(5)|ψ(x，z)|C3（Ω×[-M0，M0]）≤L2.(6)我们的主要结果为如下定理. 定理0.1.设u∈C2（Ω）∩C3(Ω)为问题(1)，(2)的解且满足(3).若f，ψ分别满足条件(4)，(5)，(6)，则存在小的正常数μ0，使得supΩμ0|Du|≤max{M1，M2}，其中M1为正常数只依赖于n，μ0，M0，L1，它来自于梯度内估计;M2为正常数只依赖于n，Ω，μ0，M0，L1，L2. 从而得到如下问题解的一个存在性定理. 定理0.2.设Ω(C)Rn是一个有界区域,n≥2，(6)Ω∈C3，γ是(6)Ω的单位内法向.若对于0＜α＜1，ψ(x)∈C3，α（(Ω)），则问题{div(Du√1+|Du|2）=u inΩ，(6)u/(6)γ=ψ(x)on(6)Ω，存在唯一C2（Ω）解. 我们对如下定理给出一个新证明.此定理首先可见Uraltseva[79]，也可见Simon-Spruck[67]，Gerhardt[21]，详细证明见Lieberman书[49]. 定理0.3.设Ω是Rn中有界区战,n≥2，(6)Ω∈C3，γ是(6)Ω的单位内法向.θ为定义在Ω上的给定函数.设u∈C2（Ω）∩C3（Ω)为如下平均曲率方程的预定夹角问题{div(Du√1+|Du|2）=f(x，u) inΩ，(6)u/(6)γ=-cosθ(x)√1+|Du|2 on(6)Ω,的解且满足(3).若f满足(4)，(5);θ(x)∈C2（Ω），θ(x)∈(0，π)，存在常数b0，L2使得|cosθ(x)|≤b0＜1,|θ|C2（Ω）≤L2.(7)则存在小的正常数μ0，使得supΩμ0|Du|≤max{M1,M22}，其中M1为正常数只依赖于n，μ0，M0，L1，它来自于梯度内估计;M2为正常数只依赖于n，Ω，μ0，M0，L1，L2，infx∈Ωsin2θ. Ⅱ.Hessian方程Neumann问题的边界梯度估计 下面给出我们的另外一个结果. 定理0.4.设Ω(c)Rn是一个有界区域,(6)Ω∈C3，γ是(6)Ω的单位内法向.设u∈C2（Ω）∩C3(Ω)为如下Hessian方程Neumann问题{σκ(D2u)=f(x，u)inΩ，(6)u/(6)γ=ψ(x)on(6)Ω，的κ-阶容许解且满足|u|≤M0.f，ψ分别为定义在Ω×[-M0，M0]和Ω上的给定函数.若存在正常数L0，L1，L2使得f，ψ满足以下条件:|f(x,z)|≥L0 inΩ×[-M0,M0],(8)|f(x,z)|+|fx(x,z)|+|fz(x,z)|≤L1 inΩ×[-M0,M0],(9)|ψ(x)|C3（Ω）≤L2.(10)则存在小的正常数μ0，使得supΩμ0|Du|≤max{M1，M2}，其中M1为正常数只依赖于n，μ0，M0，L0，L1，它来自于梯度内估计;M2为正常数只依赖于n，Ω，μ0，M0，L0，L1，L2.