复杂网络(Complexnetwork)具有自组织、自相似、吸引子、小世界性以及无标度的某些或全部特征,能够用来描述自然科学、社会科学以及工程科学等众多领域间相关的模型。复杂网络是21世纪受关注较大的交叉学科,它以统计物理学、计算机软件、数学等学科为研究工具,以复杂系统作为研究对象,已经成为描述和了解复杂系统的重要研究工具之一。近年来,人们已经得到许多有关复杂网络的理论结果和实际应用。同步问题一直是研究复杂网络的一个重要课题。最近的十几年,人们都在研究有关同步及其相关问题,其研究范围包括物理学、化学、生物学、社会学等多个学科。人们在研究Kuramoto相振子同步动力学行为时发现了奇异态。奇异态与神经系统密切相关,研究奇异态对解决医学上的难题有很大帮助。因此研究复杂网络的同步及奇异态相关问题对解释现实现象或者解决实际问题都具有极其重要的意义。本论文的主要研究工作有:(1)基于Kuramoto局域耦合振子平均场模型,提出单向次近邻环上非线性振子的动力学模型。先对少体系统的动力学稳定性进行理论分析,再采用四阶龙格-库塔法对系统的动力学方程进行数值模拟,结果发现当系统振子数N≤6时,随着耦合强度的增大,所有振子的平均频率汇合到相同频率上,产生单一同步态;当系统振子数N≥7时,随着耦合强度的增大,系统同步区域内存在多定态分支;序参量R随着系统振子数的增大而减小,并有趋向于零的趋势。(2)基于双谐波(bi-harmonic)耦合作用的广义Kuramoto模型,在系统中考虑具有正负向二次谐波耦合强度,通过四阶龙格-库塔法数值模拟系统的动力学行为,发现系统中振子相位分布具有丰富的动力学特性,系统具有同步态、行波态;二次谐波序参量和系统相位斑图能更好的反映出系统的同步程度;在概率p分别递增和递减时,通过数值模拟分别发现在p=0.45和p=0.40有一个不连续的转变,表明系统存在滞后现象。通过系统斑图表明系统存在行波态和同步态。(3)基于二维时间离散系统卢柯夫映射(Rulkov map)神经元系统,提出考虑耦合系统中最近邻和最近对角上的神经元的动力学模型。通过迭代法对系统进行数值模拟,随着时间演化,二维神经元网络的膜电位在不同的化学突触耦合强度下,系统斑图很好地反映出系统的非相干态、奇异态和相干态;通过序参量、标准差和不相干强度SI的计算,当化学突触耦合强度0.6<ε<0.8时,系统呈现出奇异态。最后,对复杂网络上Kuramoto模型同步及奇异态的研究进行总结和展望。