【摘 要】
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本文我们主要研究加法补集和最小公倍数问题,具体如下:1、设A,B是无穷正整数集合,若所有充分大的整数均能表示为A与B中元素之和,则称A,B是加法补集.令A（x）和B（x）分别表示集合A和B的计数函数.2020年,Chen和Fang证明了:对于无穷加法补集A,B,若A（x）B（x）-x→+∞不成立,则本文建立了条件limsupA（2x）B（2x）/A（x）B（x）和结论A（x）B（x）-x→+∞之间
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本文我们主要研究加法补集和最小公倍数问题,具体如下:1、设A,B是无穷正整数集合,若所有充分大的整数均能表示为A与B中元素之和,则称A,B是加法补集.令A（x）和B（x）分别表示集合A和B的计数函数.2020年,Chen和Fang证明了:对于无穷加法补集A,B,若A（x）B（x）-x→+∞不成立,则本文建立了条件limsupA（2x）B（2x）/A（x）B（x）和结论A（x）B（x）-x→+∞之间的联系,证明如下结论:定理1 对于无穷加法补集A,B,若（?）或（?）4,则A（x）B（x）-x→+∞,其中x→+∞.此外,上述常数2和4不能被改进.2、对于严格递增的正整数集合（?）,Borwein证明了对任意正整数n,都有（?）,等号成立当且仅当ai=2i-1（i=1,2,…,n+1）.设r是给定整数且3 ≤r≤7,Qian进一步证明:（?）,并给出等号成立的条件,其中Ur（n）仅依赖于r和n.本文中,我们在[a1,…,ar-1]≤ar的条件下研究SA,r（n）的最佳上界,证明如下结论:定理 2 设整数 r≥2,A={a1<a2<…<ar<…}为正整数集合且[a1,…,ar-1]≤ar.（1）若[a1,…,ar-1]<ar,则对于任意正整数n,都有SA,r（n）≤1/mr-1（1-1/2n）,等号成立当且仅当:a1,a2,…,ar-1为mr-1的正因子,且当i=r,r+1,…,n+r-1时,ai=2i-r+1mr-1.（2）若[a1,…,ar-1]=ar,则对于任意正整数n,都有SA,r（n）≤2/mr（1-1/2n）,等式成立当且仅当:a1,a2,…,ar为mr的正因子,且当i=r,r+1,…,n+r-1时,ai=2i-rmr.
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