杨-巴克斯特方程与解决量子多体问题和统计模型的本证值问题有着密切的联系。以杨-巴克斯特方程为中心的有关理论是比较系统的处理某系非线性模型的成功理论。当杨-巴克斯特方程的谱参数取特殊值时，杨-巴克斯特方程退化为辫子群关系。在上个世纪八十年代末的研究发现，具有两个或三个独立本证值的辫子群表示分别与Temperley–Lieb代数和Birman–Wenzl–Murakami代数有着直接的联系。辫子群、Temperley–Lieb代数和Birman–Wenzl–Murakami代数可以通过杨-巴克斯特化方案得到相应的杨-巴克斯特方程解。近些年的研究发现，辫子群和Temperley–Lieb代数跟纽结理论、拓扑量子场论、统计力学、量子传输、纠缠交换和广义的量子计算有着密切的联系。特别是在自旋12的量子系统的研究中，辫子群和Temperley–Lieb代数发挥了重要的作用。但是对于Birman–Wenzl–Murakami代数在这些方面的研究却不是很多，更为重要的是它可以很自然的对应于自旋1的量子系统。所以对Birman–Wenzl–Murakami代数在量子物理中应用的研究变得十分重要和迫切。本文的动机有两个方面：一是研究Birman–Wenzl–Murakami代数找到他所对应的拓扑基态，另一个就是研究拓扑基态的物理意义。本文包括六章，简介如下：第一章，介绍本文研究的知识背景，及研究的重要性。回顾了杨-巴克斯特方程的起源和发展，以及它和纽结理论的联系。简要介绍了辫子群、Temperley–Lieb代数、Birman–Wenzl–Murakami代数、拓扑基态、量子纠缠、Berry几何相。第二章，首先由Temperley–Lieb代数的拓扑图形得到灵感，利用纠缠态第三章，在已有拓扑基的基础上构造Birman–Wenzl–Murakami代数所对应的拓扑基，同时给出详细计算过程，并利用拓扑基得到约化的Birman–Wenzl–Murakami代数及其矩阵表示。第四章，利用前一章中得到的Temperley–Lieb代数3×3矩阵表示EA和EB，通过杨-巴克斯特化方案的到相对论形式的杨-巴克斯特方程解，从而得到相应的杨-巴克斯特系统，并研究这个系统的Berry几何相。发现这个系统的Berry几何相不仅与谱参数μ有关，更和拓扑参数d有着直接的联系。第五章，研究Birman–Wenzl–Murakami代数类型的自旋链系统。发现双线性四次幂海森堡链、固体共价键（valence bond solid）模型，以及它们的q变形链模型的哈密顿量都可以用Birman–Wenzl–Murakami代数表示出来。第六章，改变XXX链模型的周期性边界条件为扭转的边界条件，研究这种新型的扭转XXX链模型与拓扑基态的联系。用图形的方法给出四q比特扭转的XXX链模型的本征态。最后为全文的总结与展望.