对称和对偶在理论物理及数学物理中起着重要作用。量子群是经典李群、李代数的基本对称概念的推广。基于Alain Connes [1]对非交换几何的一般思想,Manin[2],Wess和Zumino[3]等将量子群看成量子超面上的线性变换,并具体提出在非交换空间上的微分形式,外微分等,由此逐步建立起非交换微分几何框架,并从不同观点提出各种q规范理论。本论文致力于构造半离散的同伦算子,并由此证明半离散微分复形的正合性,利用半离散的微分学,我们得到了一个半离散的可积方程。在第一章中,我们简介一下正合复形、非交换微分几何的历史和在物理中的应用。在第二章中,我们简介了微分几何学的一些基本概念,给出了具体的欧氏空间上微分形式、外微分运算及其复形的正合性(即Poincar′e引理的连续情形)。在第三章中,我们给出了类似的离散空间上微分形式、外微分运算及其复形的正合性(即Poincar′e引理的离散情形)。结合前两部分,在第四章中,我们给出半离散空间上微分形式、外微分运算及其复形的正合性(即Poincar′e引理的半离散情形)。最后,在第五章中,我们给出非交换微分学的一个应用,得到了可积的Toda-Lattice方程。