二维流形和三维流形，都是数学中非常基本的研究对象，对于它们（以及四维流形）的研究，形成了低维拓扑学这个数学分支.本文运用了组合拓扑中的方法，分别得到了与二维流形和三维流形相关的一些结果.　　由于二维流形的拓扑结构相对较简单，其分类已经完全为大家所清楚，于是与二维流形紧密相关的数学结构-特别是映射类群和Teichmüller空间，就成了拓扑学家感兴趣的研究对象.近年来，曲线复形的理论逐渐丰富起来，其与映射类群和Teichmüller空间的关系也越来密切.本文引入了一种新的复形，即平环圆盘复形，它是曲线复形的一个子复形，并且运用组合方法，证明了绝大多数情况下，它作为拓扑空间是可缩的，同时利用已有的结果研究了该复形的几何性质，证明了它在曲线复形里是拟凸的.　　组合结构是三维流形上最基本的结构，而Heegaard结构是一种重要的组合结构.Heegaard亏格是三维流形的一个基本的不变量，确定一个流形的Heegaard亏格是既重要又有趣的问题.本文主要关心当一个三维流形有两个同胚的边界时，沿着某个同胚映射将这两个边界粘和后所得到的三维流形的Heegaard亏格与原流形的Heegaard亏格的关系.本文对每个粘合映射，定义了复杂度，并证明了在一定的拓扑条件限制下，当映射的复杂度充分大时，粘和后得到的流形的亏格等于比原流形的相对于边界的Heegaard亏格大1.