分片延迟微分方程在生态学、经济学、电磁场理论、化学及自动控制等学科与工程技术领域中都有着广泛应用，它的理论和算法研宄有着无可置疑的重要性.稳定性是微分方程理论中一个非常重要的性质，它反映了初值的扰动对方程的解的影响，因此研宄系统本身及数值方法的稳定性具有十分重要的意义.本文的工作包含两部分.　　首先，在文献中已有的研宄成果的基础上，进一步考虑如下含多个分片延迟项的微分方程初值问题：（此处公式省略）给出了这类问题的解析解稳定和渐近稳定的充分条件；同时还研宄了求解该类问题的Runge-Kutta方法的稳定性，分别证明了在问题类满足一定的条件下，BNf-稳定的Runge-Kutta方法求解该类问题时是稳定的或渐近稳定的.　　其次，考虑如下的一类中立型分片延迟微分方程初值问题：（此处公式省略）文献中已有关于该类问题的理论解的稳定性及求解该类问题的Runge-Kutta方法的数值稳定性结果.本文进一步研宄了求解该类问题的一类线性多步方法的稳定性，给出了方法数值稳定的充分条件.　　本文也进行了一些数值试验，其结果进一步验证了理论结果的正确性.